Środkiem odcinka AB o końcach w punktach A(xA, yA) i B(xB, yB) jest punkt: $S\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right)$

---

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Obliczamy współrzędne środka odcinka AB:

$x_D=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{0+8}{2}=\frac{8}{2}=4$  

$y_D=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{0+0}{2}=0$  

Zatem:

$D\left(4,0\right)$  

---

Obliczamy współrzędne środka odcinka BC:

$x_E=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{8+0}{2}=\frac{8}{2}=4$  

$y_E=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{0+8}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Zatem:

$E\left(4,4\right)$  

---

Obliczamy współrzędne środka odcinka AC:

$x_F=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{0+0}{2}=0$  

$y_F=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{0+8}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Zatem:

$F\left(0,4\right)$  

---

Obliczamy długość środkowej AE:

$\left|AE\right|=\sqrt{{\left(4-0\right)}^2+{\left(4-0\right)}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{2\cdot 4^2}=4\sqrt{2}$  

Obliczamy długość środkowej BF:

$\left|BF\right|=\sqrt{{\left(0-8\right)}^2+{\left(4-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(-8\right)}^2+4^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$  

Obliczamy długość środkowej CD:

$\left|CD\right|=\sqrt{{\left(4-0\right)}^2+{\left(0-8\right)}^2}=\sqrt{4^2+{\left(-8\right)}^2}=\sqrt{16+64}=\sqrt{80}=\sqrt{16\cdot 5}=4\sqrt{5}$  

---

Trójkąt KLM ma boki o długościach równych długościom środkowych AE, BF, CD, więc jest równoramienny.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku poniżej:

---

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta KNM obliczamy wysokość h:

${\left(\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\right)}^2+h^2={\left(4\sqrt{5}\right)}^2$  

${\left(2\sqrt{2}\right)}^2+h^2=80$  

$8+h^2=80$  

$h^2=72\text{i}h>0$  

$h=6\sqrt{2}$  

---

Obliczamy pole trójkąta KLM:

$P_{\text{KLM}}=\frac{1}{2}\cdot \left|KL\right|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}=24$