a) Niech f będzie dowolną funkcją wykładniczą, czyli:

$f\left(x\right)=a^x,a>0,a\ne 1,x\in \mathbf{R}$  

Weźmy:

$s,t\in \mathbf{R}$  

Wówczas:

$f\left(s+t\right)=a^{s+t}=a^s\cdot a^t=f\left(s\right)\cdot f\left(t\right)$  

---

b) Niech f będzie dowolną funkcją wykładniczą, czyli:

$f\left(x\right)=a^x,a>0,a\ne 1,x\in \mathbf{R}$  

Weźmy:

$s,t\in \mathbf{R}$  

x jest średnią arytmetyczną liczb s i t, więc:

$x=\frac{s+t}{2}$  

Wówczas:

$f\left(x\right)=f\left(\frac{s+t}{2}\right)=a^{\frac{s+t}{2}}={\left(a^{s+t}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(a^s\cdot a^t\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(f\left(s\right)\cdot f\left(t\right)\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{f\left(s\right)\cdot f\left(t\right)}$