Szukamy funkcji postaci:

$f\left(x\right)={\log }_{a}x,a>0,a\ne 1$  

---

a) Obliczamy, dla jakiej wartości a punkt A należy do wykresu funkcji f:

$f\left(9\right)=2$  

${\log }_{a}9=2$  

Z definicji logarytmu:

$a^2=9$  

$a^2=3^2\text{i}a>0$  

$a=3$  

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

$f\left(x\right)={\log }_{3}x$  

Sprawdzamy, czy punkt B należy do wykresu funkcji f:

$f\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)={\log }_3\frac{1}{\sqrt[3]{3}}={\log }_3{3}^{-\frac{1}{3}}=-\frac{1}{3}$  

Punkt B należy do wykresu funkcji f, więc istnieje funkcja logarytmiczna, do której wykresu należą punkty A i B.

---

b) Obliczamy, dla jakiej wartości a punkt A należy do wykresu funkcji f:

$f\left(\sqrt{2}\right)=-\frac{1}{2}$  

${\log }_a\sqrt{2}=-\frac{1}{2}$  

Z definicji logarytmu:

$a^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$  

$\sqrt{\frac{1}{a}}=\sqrt{2}\mid {}^2$  

$\frac{1}{a}=2$  

$a=\frac{1}{2}$  

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

$f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}x$  

Sprawdzamy, czy punkt B należy do wykresu funkcji f:

$f\left(\frac{1}{2}\right)={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=1\ne -8$  

Punkt B nie należy do wykresu funkcji f, więc nie istnieje funkcja logarytmiczna, do której wykresu należą punkty A i B.

---

c) Obliczamy, dla jakiej wartości a punkt A należy do wykresu funkcji f:

$f\left(2\right)=\frac{1}{2}$  

${\log }_{a}2=\frac{1}{2}$  

Z definicji logarytmu:

$a^{\frac{1}{2}}=2$  

$\sqrt{a}=2\mid {}^2$  

$a=4$  

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

$f\left(x\right)={\log }_{4}x$  

Sprawdzamy, czy punkt B należy do wykresu funkcji f:

$f\left(\frac{1}{4}\right)={\log }_4\frac{1}{4}=-1\ne -2$  

Punkt B nie należy do wykresu funkcji f, więc nie istnieje funkcja logarytmiczna, do której wykresu należą punkty A i B.

---

d) Obliczamy, dla jakiej wartości a punkt A należy do wykresu funkcji f:

$f\left(2\right)=\frac{1}{3}$  

${\log }_{a}2=\frac{1}{3}$  

Z definicji logarytmu:

$a^{\frac{1}{3}}=2$  

$\sqrt[3]{a}=2\mid {}^3$  

$a=8$  

Wówczas wzór funkcji przyjmuje postać:

$f\left(x\right)={\log }_{8}x$  

Sprawdzamy, czy punkt B należy do wykresu funkcji f:

$f\left(\sqrt{2}\right)={\log }_8\sqrt{2}={\log }_8\sqrt{\sqrt[3]{8}}={\log }_8{\left(8^{\frac{1}{3}}\right)}^{\frac{1}{2}}={\log }_8{8}^{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}\ne \frac{2}{3}$  

Punkt B nie należy do wykresu funkcji f, więc nie istnieje funkcja logarytmiczna, do której wykresu należą punkty A i B.