Zapiszmy, że

$27S_{1-9}=S_{10-18}$  

Gdzie Suma S_n-m oznacza sumę od n-tego do m-tego wyrazu. Zauważmy, że

$S_{10-18}=S_{1-18}-S_{1-9}$  

Stąd

$27S_{1-9}=S_{1-18}-S_{1-9}$  

$28S_{1-9}=S_{1-18}$  

Ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

$28S_9=S_{18}$  

$28a_1\cdot \frac{1-q^9}{1-q}=a_1\cdot \frac{1-q^{18}}{1-q}\mid :a_1\ne 0$  

$28\frac{1-q^9}{1-q}=a_1\cdot \frac{1-q^{18}}{1-q}\mid \cdot \left(1-q\right),q\ne 1$  

$28-28q^9=1-q^{18}\mid +q^{18}-1$  

$q^{18}-28q^9+27=0$  

Przekształćmy

$q^{18}-q^9-27q^9+27=0$  

$q^9\left(q^9-1\right)-27\left(q^9-1\right)=0$  

$\left(q^9-1\right)\left(q^9-27\right)=0$  

$q^9=1\vee q^9=27$  

Ale

$q\ne 1$  

Stąd

$q^9=27$  

$q^3=3$  

$q=\sqrt[3]{3}$