a) Zapiszmy wyrazy

$a_1=7$  

$a_2=a_1+3=7+3=10$  

$a_3=a_2+3=10+3=13$  

$a_4=a_3+3=13+3=16$  

$a_5=a_4+3=16+3=19$  

$a_6=a_5+3=19+3=22$  

Zapiszmy wzór ogólny

$a_n=7+3\left(n-1\right)=7+3n-3=3n+4$  

Udowodnijmy poprawność wzoru:

$a_{n+1}=3\left(n+1\right)+4=3n+3+4=a_n+3$  

---

b) Zapiszmy wyrazy

$a_1=5$  

$a_2=\frac{1}{2}{a}_1=\frac{5}{2}$  

$a_3=\frac{1}{2}{a}_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}=\frac{5}{4}$  

$a_4=\frac{1}{2}{a}_3=\frac{5}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{8}$  

$a_5=\frac{1}{2}{a}_4=\frac{5}{8}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{16}$  

$a_6=\frac{1}{2}{a}_5=\frac{5}{16}\cdot \frac{1}{2}=\frac{5}{32}$  

Zapiszmy wzór ogólny

$a_n=5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=5\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n\cdot 2=10\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$  

Udowodnijmy poprawność wzoru:

$a_{n+1}=10\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\frac{1}{2}{a}_n$

---

c) Zapiszmy wyrazy

$a_1=-10$  

$a_2=-10$  

$a_3=a_2+a_1+10=-10-10+10=-10$  

$a_4=a_3+a_2+10=-10-10+10=-10$  

$a_5=a_4+a_3+10=-10-10+10=-10$  

$a_6=a_5+a_4+10=-10-10+10=-10$  

Zapiszmy wzór ogólny

$a_n=-10$  

Udowodnijmy poprawność wzoru:

$a_{n+1}=-10=-10-10+10=a_n+a_{n-1}+10$

---

d) Zapiszmy wyrazy

$a_1=2$  

$a_2=1$  

$a_3=\frac{a_2^2}{a_1}=\frac{1^2}{2}=\frac{1}{2}$  

$a_4=\frac{a_3^2}{a_2}=\frac{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}{1}=\frac{1}{4}$  

$a_5=\frac{a_4^2}{a_3}=\frac{{\left(\frac{1}{4}\right)}^2}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\cdot 2=\frac{1}{8}$  

$a_6=\frac{a_5^2}{a_4}=\frac{{\left(\frac{1}{8}\right)}^2}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{64}\cdot 4=\frac{1}{16}$  

Zapiszmy wzór ogólny

$a_n=2^{-n+2}$  

Udowodnijmy poprawność wzoru:

$a_{n+1}=2^{-n-1+2}=2^{-n+1}=\frac{2^{-2n+4}}{2^{-n+3}}=\frac{{\left(2^{-n+2}\right)}^2}{2^{-\left(n-1\right)+2}}=\frac{a_n^2}{a_{n-1}}$