a) Zauważmy, że pierwszy, czwarty, siódmy... itd wyraz ciągu jest 1, co trzeci zaczynając od drugiego jest równy 2 a  co trzeci zaczynając od trzeciego wyrazu jest równy 3. Można zapisać regułę w taki sposób: 

Jeśli numer wyrazu w ciągu jest 

• dzieli się przez 3 z resztą 1 to jest równy 1
• dzieli się przez 3 z resztą 2 to jest równy 2
• dzieli się przez 3 to jest równy 3

Stąd aby podać trzynasty wyraz

$a_{13}=1$   

Ponieważ 13 jest podzielne przez 3 z resztą 1. Następnie

$a_{20}=2$

Ponieważ 20 jest podzielne przez 3 z resztą 2.

---

b) Zauważmy, że każdy kolejny wyraz jest większy o 5 od poprzedniego. Pierwszy wyraz to 7 = 2+5. Stąd można zapisać że dowolny wyraz to

$2+5n$

gdzie n jest numerem wyrazu w ciągu. Mamy

$a_{13}=2+5\cdot 13=2+65=67$

$a_{20}=2+5\cdot 20=2+100=102$   

---

c) Zauważmy, że licznik wyrazu i mianownik zwiększają się o 1 w stosunku do licznika i mianownika poprzedniego wyrazu ciągu. Pierwszy wyraz to jedna druga. Zapiszmy, że dowolny wyraz to

$\frac{n}{1+n}$  

gdzie n jest numerem wyrazu w ciągu. Mamy

$a_{13}=\frac{13}{14}$

$a_{20}=\frac{20}{21}$  

---

d) Zauważmy, że postać każdego wyrazu można zapisać jako

$a+\sqrt{a}$

gdzie a rośnie o 1 w stosunku do wyrazu poprzedniego. Zauważmy, też, że

$a_1=1+\sqrt{1}=1+1=2$   

Stąd

$a_{13}=13+\sqrt{13}$  

$a_{20}=20+\sqrt{20}=20+2\sqrt{5}$