$\text{a)}$  

Środek okręgu leży na prostej y+5=0, czyli na prostej y=-5.

Zatem środek okręgu jest postaci S(x, -5).                   

Wiemy, że:

$\left|AS\right|=\left|BS\right|$  

$\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(-5-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-\left(-4\right)\right)}^2+{\left(-5-\left(-3\right)\right)}^2}$  

$\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{{\left(x+4\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}{\mid }^2$  

${\left(x-1\right)}^2+9={\left(x+4\right)}^2+4$  

$x^2-2x+1+9=x^2+8x+16+4\mid -x^2$  

$-2x+10=8x+20\mid +2x-20$  

$-10=10x\mid :10$  

$-1=x$  

Zatem mamy:

$S\left(-1,-5\right)$  

 

Wyznaczmy długość promienia tego okręgu.

$\left|AS\right|=\sqrt{{\left(-1-1\right)}^2+{\left(-5-\left(-2\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$  

 

Zatem otrzymujemy równanie okręgu:

${\left(x-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(y-\left(-5\right)\right)}^2={\sqrt{13}}^2$  

${\left(x+1\right)}^2+{\left(y+5\right)}^2=13$  

---

$\text{b)}$  

Środek okręgu leży na prostej y=x.

Zatem środek okręgu jest postaci S(x, x).        

Wiemy, że:

$\left|AS\right|=\left|BS\right|$  

$\sqrt{{\left(x-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(x-\left(-4\right)\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-8\right)}^2+{\left(x-5\right)}^2}$  

$\sqrt{{\left(x+1\right)}^2+{\left(x+4\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-8\right)}^2+{\left(x-5\right)}^2}{\mid }^2$  

${\left(x+1\right)}^2+{\left(x+4\right)}^2={\left(x-8\right)}^2+{\left(x-5\right)}^2$  

$x^2+2x+1+x^2+8x+16=x^2-16x+64+x^2-10x+25$  

$2x^2+10x+17=2x^2-26x+89\mid -2x^2$  

$10x+17=-26x+89\mid +26x-17$  

$36x=72\mid :36$  

$x=2$  

Zatem mamy:

$S\left(2,2\right)$  

 

Wyznaczmy długość promienia tego okręgu.

$\left|AS\right|=\sqrt{{\left(2-\left(-1\right)\right)}^2+{\left(2-\left(-4\right)\right)}^2}=\sqrt{3^2+6^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45}$  

Zatem otrzymujemy równanie okręgu:

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2={\sqrt{45}}^2$  

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=45$