W rozwiązaniu skorzystamy z następujących wzorów:

$1\text{)}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$  

$2\text{)}\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$  

 

$a\text{)}\sin \alpha =-\frac{2}{3}\text{i}{180}^{\circ }<\alpha <{270}^{\circ }$  

Ramię końcowe kąta 𝛼 znajduje się w III ćwiartce układu współrzędnych, zatem:

$\cos \alpha <0\wedge \mathrm{tg}\alpha >0$  

Obliczmy wartość cos𝛼 korzystając ze wzoru 1):

${\left(-\frac{2}{3}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1$  

$\frac{4}{9}+{\cos }^2\alpha =1$  

${\cos }^2\alpha =1-\frac{4}{9}$  

${\cos }^2\alpha =\frac{5}{9}$  

$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$  

Obliczmy wartość tg𝛼 korzystając ze wzoru 2):

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{-\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2}{3}\cdot \left(-\frac{3}{\sqrt{5}}\right)=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

---

$b\text{)}\cos \alpha =0,6\text{i}{270}^{\circ }<\alpha <{360}^{\circ }$  

Ramię końcowe kąta 𝛼 znajduje się w IV ćwiartce układu współrzędnych, zatem:

$\sin \alpha <0\wedge \mathrm{tg}\alpha <0$  

Obliczmy wartość sin𝛼 korzystając ze wzoru 1):

${\sin }^2\alpha +{\left(0,6\right)}^2=1$  

${\sin }^2\alpha +0,36=1$  

${\sin }^2\alpha =0,64$  

$\sin \alpha =-0,8$  

Obliczmy wartość tg𝛼 korzystając ze wzoru 2):

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{-0,8}{0,6}=-\frac{8}{6}=-\frac{4}{3}$  

---

$c\text{)}\mathrm{tg}\alpha =-\frac{2}{5}\text{i}{90}^{\circ }<\alpha <{180}^{\circ }$  

Ramię końcowe kąta 𝛼 znajduje się w II ćwiartce układu współrzędnych, zatem:

$\sin \alpha >0\wedge \cos \alpha <0$  

Obliczmy wartości sin𝛼 i cos𝛼 korzystając ze wzorów 1) i 2):

$\{\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ -\frac{2}{5}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ -\frac{2}{5}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(-\frac{2}{5}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1\\ -\frac{2}{5}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{4}{25}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ -\frac{2}{5}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{29}{25}{\cos }^2\alpha =1\\ -\frac{2}{5}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\cos }^2\alpha =\frac{25}{29}\\ -\frac{2}{5}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\cos \alpha =-\frac{5}{\sqrt{29}}\\ -\frac{2}{5}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\cos \alpha =-\frac{5\sqrt{29}}{29}\\ -\frac{2}{5}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\cos \alpha =-\frac{5\sqrt{29}}{29}\\ -\frac{2}{5}\cdot \left(-\frac{5\sqrt{29}}{29}\right)=\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\cos \alpha =-\frac{5\sqrt{29}}{29}\\ \sin \alpha =\frac{2\sqrt{29}}{29}\end{array}$  

---

$d\text{)}\mathrm{tg}\alpha =-\frac{1}{3}\text{i}{270}^{\circ }<\alpha <{360}^{\circ }$  

Ramię końcowe kąta 𝛼 znajduje się w IV ćwiartce układu współrzędnych, zatem:

$\sin \alpha <0\wedge \cos \alpha >0$  

Obliczmy wartości sin𝛼 i cos𝛼 korzystając ze wzorów 1) i 2):

$\{\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ -\frac{1}{3}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ -\frac{1}{3}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\left(-\frac{1}{3}\cos \alpha \right)}^2+{\cos }^2\alpha =1\\ -\frac{1}{3}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{9}{\cos }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\\ -\frac{1}{3}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\frac{10}{9}{\cos }^2\alpha =1\\ -\frac{1}{3}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}{\cos }^2\alpha =\frac{9}{10}\\ -\frac{1}{3}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}}\\ -\frac{1}{3}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{3\sqrt{10}}{10}\\ -\frac{1}{3}\cos \alpha =\sin \alpha \end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{3\sqrt{10}}{10}\\ \sin \alpha =-\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{10}}{10}\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{3\sqrt{10}}{10}\\ \sin \alpha =\frac{-\sqrt{10}}{10}\end{array}$