Aby określić wartości funkcji trygonometrycznych kąta 𝛼 umieszczonego w układzie współrzędnych, obieramy na jego ramieniu końcowym dowolny punkt P, różny od punktu O(0, 0), taki, że P(x, y), wówczas:

$r=\left|OP\right|=\sqrt{x^2+y^2}$  

Oraz:

$\sin \alpha =\frac{y}{r}$  

$\cos \alpha =\frac{x}{r}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{y}{x},\left(x\ne 0\right)$  

 

a) Obliczmy wartości funkcji trygonometrycznych dla A=(2, -3):

$\sin \alpha =\frac{-3}{\sqrt{2^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{-3}{\sqrt{4+9}}=\frac{-3}{\sqrt{13}}=\frac{-3\sqrt{13}}{13}$  

$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{2^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{4+9}}=\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{-3}{2}=-\frac{3}{2}$  

---

b) Obliczmy wartości funkcji trygonometrycznych dla B=(-3, 4):

$\sin \alpha =\frac{4}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}}=\frac{4}{\sqrt{9+16}}=\frac{4}{\sqrt{25}}=\frac{4}{5}$  

$\cos \alpha =\frac{-3}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+4^2}}=\frac{-3}{\sqrt{9+16}}=\frac{-3}{\sqrt{25}}=-\frac{3}{5}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{4}{-3}=-\frac{4}{3}$  

---

c) Obliczmy wartości funkcji trygonometrycznych dla C=(-2, -4):

$\sin \alpha =\frac{-4}{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{-4}{\sqrt{4+16}}=\frac{-4}{\sqrt{20}}=\frac{-4\sqrt{20}}{20}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$  

$\cos \alpha =\frac{-2}{\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}}=\frac{-2}{\sqrt{4+16}}=\frac{-2}{\sqrt{20}}=\frac{-2\sqrt{20}}{20}=-\frac{4\sqrt{5}}{20}=-\frac{\sqrt{5}}{5}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{-4}{-2}=2$  

---

d) Obliczmy wartości funkcji trygonometrycznych dla D=(√2, 1):

$\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{{\sqrt{2}}^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2+1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$  

$\cos \alpha =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{\sqrt{2}}^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+1}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$  

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$