Założenie:

Funkcja f dana jest wzorem

$f\left(x\right)=ax+b\text{dla}x\in \mathbb{R}$  

---

Teza:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=a$  

---

Dowód:

Obliczamy z definicji pochodną funkcji f dla dowolnego punktu x:

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{a\left(x+h\right)+b-\left(ax+b\right)}{h}=$  

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{ax+ah+b-ax-b}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{ah}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }a=a$  

Zatem otrzymaliśmy, że

$f{}^{\prime }\left(x\right)=a\text{dla}x\in \mathbb{R}$

cnd.