Pochodna funkcji w punkcie   Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu punktu x0.   Jeżeli istnieje granica właściwa  $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}$     to tę granicę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy f'(x0).   Wówczas o funkcji f powiemy, że ma pochodną w punkcie x0 lub że jest różniczkowalna   w punkcie x0.

---

Pokażemy, że funkcja

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}x+2\text{,}& \text{gdy}x\ge 0\\ 2\text{,}& \text{gdy}x<0\end{array}$

nie jest różniczkowalna w punkcie

$x_0=0$

---

Badamy istnienie granicy:

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}$  

Obliczamy granice jednostronne:

• $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}\stackrel{\left(\ast \right)}{=}\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{2-\left(0+2\right)}{h}=\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{0}{h}=0$

${}^{\left(\ast \right)\text{Skoro}h\to 0^{-}\text{to}h<0.}$

• $\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(h\right)-f\left(0\right)}{h}\stackrel{\left(\ast \ast \right)}{=}\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{0+h+2-\left(0+2\right)}{h}=\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{h}{h}=1$

${}^{\left(\ast \ast \right)\text{Skoro}h\to 0^{+}\text{to}h>0.}$

Otrzymaliśmy, że

$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}\ne \underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}$  

zatem nie istnieje granica

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}$  

Wobec tego funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie x₀ = 0 (nie istnieje pochodna funkcji f w punkcie x₀ = 0), 

cnd.