Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\frac{k{x}^2-3x}{\left(k-1\right)x^2-2},\text{gdzie}k\in \mathbb{R}$

---

a)

Wyznaczymy wszystkie wartości parametru k, dla których

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3$   

Zauważmy, że jeżeli

$k-1=0$

czyli gdy

$\underline{k=1}$

to wówczas

$f\left(x\right)=\frac{1\cdot x^2-3x}{0\cdot x^2-2}=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x$  

i wtedy

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\frac{3}{2}}{x}\right)\right)=\left[+\infty \cdot \left(-\frac{1}{2}+0\right)\right]=-\infty$  

Zatem dla k = 1

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)\ne 3$  

Założenie:

$\underline{k\ne 1}$

Wówczas 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{k{x}^2-3x}{\left(k-1\right)x^2-2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2\left(k-\frac{3}{x}\right)}{x^2\left(k-1-\frac{2}{x^2}\right)}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{k-\frac{3}{x}}{k-1-\frac{2}{x^2}}=\frac{k}{k-1}$  

Wtedy

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3\iff \frac{k}{k-1}=3\mid \cdot \left(k-1\right)$  

$k=3k-3\mid -3k$

$-2k=-3\mid :\left(-2\right)$

$k=\frac{3}{2}$    

Ostatecznie otrzymaliśmy, że

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=3\iff \mathbf{k}=\frac{3}{2}$  

---

b)

Wyznaczymy wszystkie wartości parametru k, dla których

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2$   

Z podpunktu (a) wiemy już, że jeżeli

$\underline{k=1}$

to wówczas

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x$  

Wtedy

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\frac{3}{2}}{x}\right)\right)=\left[+\infty \cdot \left(-\frac{1}{2}+0\right)\right]=-\infty$  

Zatem dla k = 1

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)\ne -2$  

Założenie:

$\underline{k\ne 1}$

Wówczas 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{k{x}^2-3x}{\left(k-1\right)x^2-2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(k-\frac{3}{x}\right)}{x^2\left(k-1-\frac{2}{x^2}\right)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{k-\frac{3}{x}}{k-1-\frac{2}{x^2}}=\frac{k}{k-1}$  

Zatem wtedy

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2\iff \frac{k}{k-1}=-2\mid \cdot \left(k-1\right)$  

$k=-2k+2\mid +2k$

$3k=2\mid :3$

$k=\frac{2}{3}$    

Ostatecznie otrzymaliśmy, że

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-2\iff \mathbf{k}=\frac{2}{3}$  

---

c)

Wyznaczymy wszystkie wartości parametru k, dla których

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$   

Z podpunktu (b) wiemy już, że jeżeli

$\underline{k=1}$

to 

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$  

Z podpunktu (b) wiemy też, że gdy

$\underline{k\ne 1}$

to funkcja f ma w -∞ granicę właściwą:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\frac{k}{k-1}$  

Zatem wtedy

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)\ne -\infty$  

Zatem ostatecznie wnioskujemy, że

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty \iff \mathbf{k}=1$  

---

d)

Wyznaczymy wszystkie wartości parametru k, dla których

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$   

Z podpunktu (a) wiemy już, że jeżeli

$\underline{k=1}$

to 

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$  

Z podpunktu (a) wiemy też, że gdy

$\underline{k\ne 1}$

to funkcja f ma w +∞ granicę właściwą:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\frac{k}{k-1}$  

Zatem ostatecznie wnioskujemy, że nie istnieje wartość parametru k, dla której spełniony byłby warunek:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$