Dana jest funkcja:

$f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}-x^2+4x-2\text{,}\text{gdy}x<3\\ 4-x\text{,}\text{gdy}x\ge 3\end{array}$  

Rozwiązanie dla D_f=R

1. W przedziale (-oo, 3) funkcja f jest ciągła jako funkcja kwadratowa y=-x²+4x-2.

2. W przedziale (3, +oo) funkcja f jest ciągła jako funkcja liniowa y=4-x.

3. Sprawdzamy ciągłość funkcji f w punkcie x₀=3.

Zauważmy, że:

$f\left(3\right)=4-3=1$  

Oraz

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\left(-x^2+4x-2\right)=-3^2+4\cdot 3-2=1$  

$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(4-x\right)=4-3=1$  

Więc:

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=1$  

Stąd:

$\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)$  

Funkcja f jest ciągła w punkcie x₀=3.

 

Odp.: Funkcja f jest ciągła w zbiorze R.