Zmianę wykładniczą zjawiska, o wartości początkowej y₀, która następuje ze stałą wielokrotnością a razy w każdym z okresów r czasu t, można opisać wzorem:

$f\left(t\right)=y_0\cdot a^{\frac{t}{r}}$  

Okres połowicznego rozpadu jodu ¹³¹J jest równy 8 dniom, wiemy, że pewna próbka zawiera 120 g tego jodu, zatem:

$y_0=120\text{g}$  

$r=8\text{dni}$  

$a=\frac{1}{2}$  

Zbudujmy model matematyczny opisujący zmianę ilości radioaktywnego ¹³¹J w czasie:

$f\left(t\right)=120\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{8}}$  

a) Obliczmy masę ¹³¹J po upływie 24 dni (czyli t=24):

$f\left(24\right)=120\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{24}{8}}=120\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^3=120\cdot \frac{1}{8}=15\text{[g]}$  

 

Odp.: Masa ¹³¹J po upływie 24 dni wynosi 15 g.

---

b) Obliczmy liczbę dni, po upływie których masa ¹³¹J będzie równa 3,75 g:

$120\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{8}}=3,75$  

${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{8}}=\frac{375}{12000}$  

${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{8}}=\frac{1}{32}$  

${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{8}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^5$

$\frac{t}{8}=5$  

$t=40\text{[dni]}$  

 

Odp.: Masa ¹³¹J będzie równa 3,75 g po upływie 40 dni.