$a\text{)}\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-x^2}{1-x}$  

Zauważmy, że:

$1\notin D_f$  

gdy:

$f\left(x\right)=\frac{1-x^2}{1-x}$  

Po podstawieniu do wzoru funkcji f liczby 1 otrzymamy symbol nieoznaczony ⁰/₀, zatem musimy przekształcić wzór funkcji f, by móc podstawić liczbę 1 i obliczyć wartość. 

Więc:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1-x^2}{1-x}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{1-x}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(1+x\right)=$  

$=1+1=2$  

---

$b\text{)}\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{x^2-4}$  

Zauważmy, że:

$2\notin D_f$  

gdy:

$f\left(x\right)=\frac{x-2}{x^2-4}$  

Po podstawieniu do wzoru funkcji f liczby 2 otrzymamy symbol nieoznaczony ⁰/₀, zatem musimy przekształcić wzór funkcji f, by móc podstawić liczbę 2 i obliczyć wartość. 

Więc:

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{x^2-4}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{x+2}=$  

$=\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$  

---

$c\text{)}\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x^2+4x+3}$  

Zauważmy, że:

$-1\notin D_f$  

gdy:

$f\left(x\right)=\frac{x^2+2x+1}{x^2+4x+3}$  

Po podstawieniu do wzoru funkcji f liczby -1 otrzymamy symbol nieoznaczony ⁰/₀, zatem musimy przekształcić wzór funkcji f, by móc podstawić liczbę -1 i obliczyć wartość.

Zapiszmy trójmian x²+4x+3 w postaci iloczynowej:

$\Delta =4^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4,\sqrt{\Delta }=2$  

$x_1=\frac{-4-2}{2}=\frac{-6}{2}=-3$  

$x_2=\frac{-4+2}{2}=\frac{-2}{2}=-1$  

więc:

$x^2+4x+3=\left(x+3\right)\left(x+1\right)$  

Stąd:

$\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x^2+4x+3}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{{\left(x+1\right)}^2}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{x+1}{x+3}=$  

$=\frac{-1+1}{-1+3}=\frac{0}{2}=0$