$1.\sqrt{2}+2+2\sqrt{2}+4+\dots$  

Podana suma jest szeregiem geometrycznym takim, że:

$a_1=\sqrt{2}\text{i}q=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$  

Zauważmy, że:

$\sqrt{2}\notin \left(-1,1\right)$  

zatem podana suma nie jest szeregiem geometrycznym zbieżnym.

---

$2.\sqrt{2}+1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}+\dots$  

Podana suma jest szeregiem geometrycznym takim, że:

$a_1=\sqrt{2}\text{i}q=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Zauważmy, że:

$\frac{\sqrt{2}}{2}\in \left(-1,1\right)$  

zatem podana suma jest szeregiem geometrycznym zbieżnym.

Obliczmy sumę tego szeregu:

$S=\frac{\sqrt{2}}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{2}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=$  

$=\frac{2\sqrt{2}\cdot \left(2+\sqrt{2}\right)}{4-2}=\frac{4\sqrt{2}+4}{2}=2\sqrt{2}+2$  

Odp.: Suma tego szeregu wynosi 2√2+2. 

---

$3.-27+9-3+1-\frac{1}{3}+\dots$  

Podana suma jest szeregiem geometrycznym takim, że:

$a_1=-27\text{i}q=\frac{9}{-27}=-\frac{1}{3}$  

Zauważmy, że:

$-\frac{1}{3}\in \left(-1,1\right)$  

zatem podana suma jest szeregiem geometrycznym zbieżnym.

Obliczmy sumę tego szeregu:

$S=\frac{-27}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{-27}{\frac{4}{3}}=-27\cdot \frac{3}{4}=-\frac{81}{4}$  

Odp.: Suma tego szeregu wynosi -⁸¹/₄. 

---

$4.1-\frac{3}{2}+\frac{9}{4}-\frac{27}{8}+\dots$  

Podana suma jest szeregiem geometrycznym takim, że:

$a_1=1\text{i}q=-\frac{3}{2}$  

Zauważmy, że:

$-\frac{3}{2}\notin \left(-1,1\right)$  

zatem podana suma nie jest szeregiem geometrycznym zbieżnym.

---

$5.-5-2-\frac{4}{5}-\frac{8}{25}+\dots$  

Podana suma jest szeregiem geometrycznym takim, że:

$a_1=-5\text{i}q=\frac{2}{5}$  

Zauważmy, że:

$\frac{2}{5}\in \left(-1,1\right)$  

zatem podana suma jest szeregiem geometrycznym zbieżnym.

Obliczmy sumę tego szeregu:

$S=\frac{5}{1-\frac{2}{5}}=\frac{5}{\frac{3}{5}}=5\cdot \frac{5}{3}=\frac{25}{3}$  

Odp.: Suma tego szeregu wynosi ²⁵/₃. 

---

$6.\left(\sqrt{3}+1\right)+1+\frac{\sqrt{3}-1}{2}+\frac{2-\sqrt{3}}{2}+\dots$  

Podana suma jest szeregiem geometrycznym takim, że:

$a_1=\sqrt{3}+1\text{i}q=\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{3-1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$  

Zauważmy, że:

$\frac{\sqrt{3}-1}{2}\in \left(-1,1\right)$  

zatem podana suma jest szeregiem geometrycznym zbieżnym.

Obliczmy sumę tego szeregu:

$S=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\frac{\sqrt{3}-1}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\frac{2-\sqrt{3}+1}{2}}=\frac{\sqrt{3}+1}{\frac{3-\sqrt{3}}{2}}=$  

$=\frac{2\cdot \left(\sqrt{3}+1\right)}{3-\sqrt{3}}=\frac{\left(2\sqrt{3}+2\right)\left(3+\sqrt{3}\right)}{9-3}=$  

$=\frac{6\sqrt{3}+6+6+2\sqrt{3}}{6}=\frac{8\sqrt{3}+12}{6}=\frac{4\sqrt{3}+6}{3}$  

Odp.: Suma tego szeregu wynosi ^4√3+6/₃.