W rozwiązaniu skorzystamy z następujących wzorów:

$1\text{)}q=\frac{S_n-a_1}{S_n-a_n}$  

$2\text{)}{S}_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$  

 

Obliczmy a₁ wiedząc, że:

$q=\frac{1}{2},n=10,S_n=4-\frac{1}{2^8}$  

Korzystamy ze wzoru 2):

$4-\frac{1}{2^8}=a_1\cdot \frac{1-\frac{1}{2^{10}}}{1-\frac{1}{2}}$  

$4-\frac{1}{2^8}=a_1\cdot \frac{1-\frac{1}{2^{10}}}{\frac{1}{2}}$  

$4-\frac{1}{2^8}=a_1\cdot \left(1-\frac{1}{2^{10}}\right)\cdot 2$  

$2-\frac{1}{2^9}=a_1\cdot \left(\frac{2^{10}}{2^{10}}-\frac{1}{2^{10}}\right)$  

$\frac{2^{10}}{2^9}-\frac{1}{2^9}=a_1\cdot \left(\frac{1024}{1024}-\frac{1}{1024}\right)$  

$\frac{1024}{512}-\frac{1}{512}=a_1\cdot \frac{1023}{1024}$  

$\frac{1023}{512}=a_1\cdot \frac{1023}{1024}$  

$a_1=\frac{1023}{512}\cdot \frac{1024}{1023}$  

$a_1=\frac{1024}{512}$  

$a_1=2$  

---

Obliczmy S_n wiedząc, że:

$a_1=-5,q=0,1,n=4$  

Korzystamy ze wzoru 2):

$S_4=-5\cdot \frac{1-{0,1}^4}{1-0,1}$  

$S_4=-5\cdot \frac{1-0,0001}{0,9}$  

$S_4=-5\cdot \frac{0,9999}{0,9}$  

$S_4=-5\cdot 1,111$  

$S_4=-5,555$  

---

Obliczmy q wiedząc, że:

$a_1=3,n=2,S_n=5$  

Korzystamy ze wzoru 1):

$q=\frac{S_2-a_1}{S_2-a_n}$  

$q=\frac{5-3}{5-a_1\cdot q}$  

$q=\frac{2}{5-3q}$  

$q\cdot \left(5-3q\right)=2$  

$5q-3q^2=2$  

$-3q^2+5q-2=0$  

$\Delta =5^2-4\cdot \left(-3\right)\cdot \left(-2\right)=25-24=1,\sqrt{\Delta }=1$  

$q_1=\frac{-5-1}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-6}{-6}=1$  

$q_2=\frac{-5+1}{2\cdot \left(-3\right)}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}$  

Zauważmy, że podany ciąg nie jest stały, zatem q=²/₃.

---

Obliczmy n wiedząc, że:

$a_1=4,q=3,S_n=13120$  

Korzystamy ze wzoru 1):

$3=\frac{S_n-4}{S_n-a_n}$  

$3=\frac{13120-4}{13120-a_1\cdot q^{n-1}}$  

$3=\frac{13116}{13120-4\cdot 3^{n-1}}$  

$3\cdot \left(13120-4\cdot 3^{n-1}\right)=13116$  

$39360-4\cdot 3^n=13116$  

$-4\cdot 3^n=13116-39360$  

$-4\cdot 3^n=-26244$  

$3^n=6561$  

$3^n=3^8$  

$n=8$  

---

Tabelę należy uzupełnić w następujący sposób:

a1	q	n	Sn
$2$	$\frac{1}{2}$	$10$	$4-\frac{1}{2^8}$
$-5$	$0,1$	$4$	$-5,555$
$3$	$\frac{2}{3}$	$2$	$5$
$4$	$3$	$8$	$13120$