Kolejne składniki sumy są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

$a\text{)}2+6+18+\dots 2\cdot 3^6$  

Zatem:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=2\\ q=\frac{6}{2}\end{array}$  

Czyli:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=2\\ q=3\end{array}$  

Obliczmy, którym wyrazem tego ciągu jest liczba 2*3⁶:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

$2\cdot 3^6=2\cdot 3^{n-1}$  

$3^6=3^{n-1}$  

$6=n-1$  

$n=7$  

Obliczmy podaną sumę:

$S_7=2\cdot \frac{1-3^7}{1-3}=2\cdot \frac{1-2187}{-2}=\frac{-2186}{-1}=2186$  

---

$b\text{)}\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1-\dots +16$  

Zatem:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=\frac{1}{4}\\ q=\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}}\end{array}$  

Czyli:

$\{\begin{array}{l}{a}_1=\frac{1}{4}\\ q=-2\end{array}$  

Obliczmy, którym wyrazem tego ciągu jest liczba 16:

$a_n=a_1\cdot q^{n-1}$  

$16=\frac{1}{4}\cdot {\left(-2\right)}^{n-1}$  

$64={\left(-2\right)}^{n-1}$  

${\left(-2\right)}^6={\left(-2\right)}^{n-1}$  

$6=n-1$  

$n=7$  

Obliczmy podaną sumę:

$S_7=\frac{1}{4}\cdot \frac{1-{\left(-2\right)}^7}{1-\left(-2\right)}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1+128}{3}=\frac{129}{12}=\frac{43}{4}$