Korzystamy z następującego twierdzenia:

W ciągu arytmetycznym (a_n) każde trzy kolejne wyrazy a_n-1, a_n, a_n+1, gdzie n≥2, spełniają warunek:

$a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$  

 

$a\text{)}-4,0,4$  

Wykażemy, że podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny:

$\frac{-4+4}{2}=\frac{0}{2}=0$  

Zatem podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

c.k.d.

---

$b\text{)}3,9;3,3;2,7$  

Wykażemy, że podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny:

$\frac{3,9+2,7}{2}=\frac{6,6}{2}=3,3$  

Zatem podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

c.k.d.

---

$c\text{)}\sqrt{2}-1,2\sqrt{2},3\sqrt{2}+1$  

Wykażemy, że podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny:

$\frac{\sqrt{2}-1+3\sqrt{2}+1}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$  

Zatem podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

c.k.d.

---

$d\text{)}2\sqrt{3}-3,\sqrt{3}+1;5$  

Wykażemy, że podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny:

$\frac{2\sqrt{3}-3+5}{2}=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}=\sqrt{3}+1$  

Zatem podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

c.k.d.

---

$e\text{)}\frac{1}{\sqrt{2}-1},2\sqrt{2}+1,\frac{17}{3\sqrt{2}-1}$  

Wykażemy, że podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny:

$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{17}{3\sqrt{2}-1}}{2}=\frac{\frac{3\sqrt{2}-1}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(3\sqrt{2}-1\right)}+\frac{17\cdot \left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(3\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)}}{2}=$  

$=\frac{\frac{3\sqrt{2}-1+17\sqrt{2}-17}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(3\sqrt{2}-1\right)}}{2}=\frac{\frac{20\sqrt{2}-18}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(3\sqrt{2}-1\right)}}{2}=\frac{20\sqrt{2}-18}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(3\sqrt{2}-1\right)}\cdot \frac{1}{2}=$  

$=\frac{10\sqrt{2}-9}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(3\sqrt{2}-1\right)}=\frac{10\sqrt{2}-9}{6-\sqrt{2}-3\sqrt{2}+1}=\frac{10\sqrt{2}-9}{7-4\sqrt{2}}=$  

$=\frac{\left(10\sqrt{2}-9\right)\left(7+4\sqrt{2}\right)}{7^2-{\left(4\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{70\sqrt{2}+80-63-36\sqrt{2}}{49-32}=$  

$=\frac{34\sqrt{2}+17}{17}=\frac{17\cdot \left(2\sqrt{2}+1\right)}{17}=2\sqrt{2}+1$  

Zatem podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

c.k.d.

---

$f\text{)}\frac{3}{\sqrt{5}-2},\frac{12}{\sqrt{5}-1}+1;3\sqrt{5}+2$  

Wykażemy, że podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny:

$\frac{\frac{3}{\sqrt{5}-2}+3\sqrt{5}+2}{2}=\frac{\frac{3\cdot \left(\sqrt{5}+2\right)}{{\sqrt{5}}^2-2^2}+3\sqrt{5}+2}{2}=\frac{\frac{3\sqrt{5}+6}{5-4}+3\sqrt{5}+2}{2}=$  

$=\frac{\frac{3\sqrt{5}+6}{1}+3\sqrt{5}+2}{2}=\frac{3\sqrt{5}+6+3\sqrt{5}+2}{2}=\frac{6\sqrt{5}+8}{2}=3\sqrt{5}+4$  

Zauważmy, że:

$\frac{12}{\sqrt{5}-1}+1=\frac{12\cdot \left(\sqrt{5}+1\right)}{{\sqrt{5}}^2-1^2}+1=\frac{12\sqrt{5}+12}{5-1}+1=$  

$=\frac{12\sqrt{5}+12}{4}+1=3\sqrt{5}+3+1=3\sqrt{5}+4$  

Stąd:

$\frac{\frac{3}{\sqrt{5}-2}+3\sqrt{5}+2}{2}=\frac{12}{\sqrt{5}-1}+1$  

Zatem podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

c.k.d.

---

$g\text{)}{\log }_{2}4,8{\log }_{4}2;2{\log }_{2}8$  

Wykażemy, że podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny:

$\frac{{\log }_{2}4+2{\log }_{2}8}{2}=\frac{{\log }_{2}4+{\log }_2{8}^2}{2}=\frac{{\log }_{2}4+{\log }_{2}64}{2}=$  

$=\frac{{\log }_2\left(4\cdot 64\right)}{2}=\frac{{\log }_{2}256}{2}=\frac{{\log }_2{2}^8}{2}=\frac{8}{2}=4$  

Zauważmy, że:

$8{\log }_{4}2={\log }_4{2}^8={\log }_4{\left(2^2\right)}^4={\log }_4{4}^4=4$  

Stąd:

$\frac{{\log }_{2}4+2{\log }_{2}8}{2}=8{\log }_{4}2$  

Zatem podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

c.k.d.

---

$h\text{)}20\cdot {10}^4,5\cdot {10}^5,0,8\cdot {10}^6$  

Wykażemy, że podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny:

$\frac{20\cdot {10}^4+0,8\cdot {10}^6}{2}=\frac{{10}^4\cdot \left(20+0,8\cdot {10}^2\right)}{2}=\frac{{10}^4\cdot \left(20+80\right)}{2}=$  

$=\frac{{10}^4\cdot 100}{2}={10}^4\cdot 50={10}^4\cdot 5\cdot 10=5\cdot {10}^5$  

Zatem podane liczby tworzą ciąg arytmetyczny.

c.k.d.