Wykonajmy rysunek pomocniczy:

a) Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle DEB\right|=\left|\sphericalangle BFD\right|={90}^{\circ }$  

więc:

$\left|\sphericalangle DEB\right|+\left|\sphericalangle BFD\right|={180}^{\circ }$  

Suma miar katów wewnętrznych w każdym czworokącie wynosi 360^o, zatem:

$\left|\sphericalangle EDF\right|+\left|\sphericalangle DEB\right|+\left|\sphericalangle EBF\right|+\left|\sphericalangle BFD\right|={360}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle EDF\right|+{90}^{\circ }+\left|\sphericalangle EBF\right|+{90}^{\circ }={360}^{\circ }$  

$\left|\sphericalangle EDF\right|+\left|\sphericalangle EBF\right|={180}^{\circ }$  

Sumy miar przeciwległych kątów w tym czworokącie są równe 180^o, zatem na czworokącie EBFD można opisać okrąg.

c.n.u.

---

b) Zauważmy, że trójkąty AED i FCD są prostokątne o kątach ostrych 30^o i 60^o, zatem:

$\left|AE\right|=\frac{6}{2}=3$  

$\left|DE\right|=3\sqrt{3}$  

$\left|FC\right|=\frac{10}{2}=5$  

$\left|DF\right|=5\sqrt{3}$  

Trójkąty DEB i DFB są prostokątne i mają wspólną przeciwprostokątną, zatem okrąg opisany na tych trójkątach to ten sam okrąg co okrąg opisany na czworokącie EBFD i przeciwprostokątna BD jest średnicą tego okręgu.

Stąd:

$R=\frac{1}{2}\cdot \left|BD\right|$  

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta DEB wyznaczmy długość boku BD:

${\left|DE\right|}^2+{\left|EB\right|}^2={\left|BD\right|}^2$

${\left|DE\right|}^2+{\left(\left|AB\right|-\left|AE\right|\right)}^2={\left|BD\right|}^2$   

${\left(3\sqrt{3}\right)}^2+{\left(10-3\right)}^2={\left|BD\right|}^2$   

${\left(3\sqrt{3}\right)}^2+7^2={\left|BD\right|}^2$   

$27+49={\left|BD\right|}^2$   

${\left|BD\right|}^2=76$  

$\left|BD\right|=2\sqrt{19}$  

Obliczmy promień okręgu opisanego na czworokącie EDFD:

$R=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{19}=\sqrt{19}$  

 

Odp.: Promień okręgu opisanego na czworokącie EBFD wynosi √19.