a) Obliczmy pole trójkąta ABC: 

$P_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \sin {30}^{\circ }=2\cdot 6\cdot \frac{1}{2}=6$  

---

b) Obliczmy długość boku LM:

Korzystamy z twierdzenia cosinusów:

${\left|LM\right|}^2=8^2+7^2-2\cdot 8\cdot 7\cdot \cos {135}^{\circ }$  

${\left|LM\right|}^2=64+49-112\cdot \cos \left({180}^{\circ }-{45}^{\circ }\right)$  

${\left|LM\right|}^2=113-112\cdot \left(-\cos {45}^{\circ }\right)$  

${\left|LM\right|}^2=113-112\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$  

${\left|LM\right|}^2=113+56\sqrt{2}$  

$\left|LM\right|=\sqrt{113+56\sqrt{2}}$  

---

c) Korzystamy z twierdzenia cosinusów obliczmy długość odcinka BC:

${\left|BC\right|}^2=4^2+8^2-2\cdot 4\cdot 8\cdot \cos {120}^{\circ }$  

${\left|BC\right|}^2=16+64-64\cdot \cos \left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)$  

${\left|BC\right|}^2=80-64\cdot \left(-\cos {60}^{\circ }\right)$  

${\left|BC\right|}^2=80-64\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$  

${\left|BC\right|}^2=80+32$  

${\left|BC\right|}^2=112$  

$\left|BC\right|=\sqrt{112}$  

$\left|BC\right|=4\sqrt{7}$  

 

Korzystając z twierdzenia sinusów obliczmy długość promienia okręgu R opisanego na trójkącie ABC:

$\frac{\left|BC\right|}{\sin {120}^{\circ }}=2R$  

$\frac{4\sqrt{7}}{\sin \left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)}=2R$  

$\frac{4\sqrt{7}}{\sin {60}^{\circ }}=2R$  

$\frac{4\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R$  

$4\sqrt{7}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=2R$  

$\frac{8\sqrt{7}}{\sqrt{3}}=2R$  

$R=\frac{4\sqrt{7}\cdot \sqrt{3}}{3}$  

$R=\frac{4\sqrt{21}}{3}$