W rozwiązaniu skorzystamy z twierdzenia sinusów:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$  

gdy:

Wiemy, że:

$\beta ={30}^{\circ },b=10,c=11$  

 

Obliczmy miarę kąta 𝛾:

$\frac{10}{\sin {30}^{\circ }}=\frac{11}{\sin \gamma }$  

$\frac{10}{\frac{1}{2}}=\frac{11}{\sin \gamma }$  

$20=\frac{11}{\sin \gamma }$  

$\sin \gamma =\frac{11}{20}$  

$\sin \gamma \approx 0,55$  

$\gamma \approx {33}^{\circ }\vee \gamma ={147}^{\circ }$  

 

Obliczmy miarę kąta 𝛼:

${\alpha }_1\approx {180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{33}^{\circ }={117}^{\circ }$  

${\alpha }_2\approx {180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{147}^{\circ }=3^{\circ }$  

 

Obliczmy długość boku a:

$\frac{10}{\sin {30}^{\circ }}=\frac{a_1}{\sin {117}^{\circ }}$  

$\frac{10}{\frac{1}{2}}=\frac{a_1}{\sin {117}^{\circ }}$  

$20\approx \frac{a_1}{\sin \left({180}^{\circ }-{63}^{\circ }\right)}$  

$a_1\approx 20\cdot \sin {63}^{\circ }$  

$a_1\approx 20\cdot 0,891$  

$a_1\approx 18$  

lub

$\frac{10}{\sin {30}^{\circ }}=\frac{a_2}{\sin 3^{\circ }}$  

$\frac{10}{\frac{1}{2}}=\frac{a_2}{\sin 3^{\circ }}$  

$20\approx \frac{a_2}{\sin 3^{\circ }}$  

$a_2\approx 20\cdot \sin 3^{\circ }$  

$a_2\approx 20\cdot 0,0523$  

$a_2\approx 1$  

 

Odp.: Warunki zadania są spełnione gdy: a≈18, 𝛼=117^o, 𝛾=33^o lub a≈1, 𝛼=3^o, 𝛾=147^o.