Rozwiąż równanie...- Zadanie 3.71: Matematyka i przykłady jej zastosowań 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$a) sin (\frac{π}{4} - x) = sin 2 x$

Zatem:

$\frac{π}{4} - x = 2 x + 2 k π lub \frac{π}{4} - x = π - 2 x + 2 k π$

$- 3 x = - \frac{π}{4} + 2 k π lub x = \frac{3 π}{4} + 2 k π$

$x = \frac{π}{12} + \frac{2 k π}{3} lub x = \frac{3 π}{4} + 2 k π, k \in Z$

$b) cos (3 x - \frac{π}{3}) = cos x$

Zatem:

$3 x - \frac{π}{3} = x + 2 k π lub 3 x - \frac{π}{3} = - x + 2 k π$

$2 x - \frac{π}{3} = 2 k π lub 4 x - \frac{π}{3} = 2 k π$

$2 x = \frac{π}{3} + 2 k π lub 4 x = \frac{π}{3} + 2 k π$

$x = \frac{π}{6} + k π lub x = \frac{π}{12} + \frac{k π}{2}, k \in Z$

$c) t g (\frac{π}{6} - x) = t g (2 x + \frac{π}{4})$

Określmy dziedzinę tego równania:

$\frac{π}{6} - x \neq = \frac{π}{2} + k π i x \neq = 2 x + \frac{π}{4} + k π$

$- x \neq = \frac{π}{3} + k π i - x \neq = \frac{π}{4} + k π$

Stąd:

$x \neq = - \frac{π}{3} + k π i x \neq = - \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

Zatem:

$\frac{π}{6} - x = 2 x + \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

$\frac{π}{6} - 3 x = \frac{π}{4} + k π, k \in Z$

$- 3 x = \frac{π}{12} + k π, k \in Z$

$x = - \frac{π}{36} + \frac{k π}{3}, k \in Z$

$d) sin (x - \frac{2}{3} π) = cos x$

$sin (x - \frac{2}{3} π) = sin (\frac{π}{2} - x)$

Zatem:

$x - \frac{2}{3} π = \frac{π}{2} - x + 2 k π lub x - \frac{2}{3} π = π - (\frac{π}{2} - x) + 2 k π$

$2 x - \frac{2}{3} π = \frac{π}{2} + 2 k π lub x - \frac{2}{3} π = π - \frac{π}{2} + x + 2 k π$

$2 x = \frac{7 π}{6} + 2 k π lub - \frac{2}{3} π = π - \frac{π}{2} + 2 k π$

Zauważmy, że drugie równanie jest sprzeczne, więc:

$x = \frac{7 π}{12} + k π, k \in Z$

$e) cos 2 x = sin (\frac{π}{12} - x)$

Zatem:

$sin (\frac{π}{2} - 2 x) = sin (\frac{π}{12} - x)$

$\frac{π}{2} - 2 x = \frac{π}{12} - x + 2 k π lub \frac{π}{2} - 2 x = π - \frac{π}{12} - x + 2 k π$

$- x + \frac{π}{2} = \frac{π}{12} + 2 k π lub - 3 x + \frac{π}{2} = \frac{11 π}{12} + 2 k π$

$- x = - \frac{5 π}{12} + 2 k π lub - 3 x = \frac{5 π}{12} + 2 k π$

$x = \frac{5 π}{12} + 2 k π lub x = - \frac{5 π}{36} + \frac{2 k π}{3}$

$f) t g (\frac{π}{2} + \frac{π}{3}) = t g (\frac{x}{3} - \frac{π}{4})$

Określmy dziedzinę tego równania:

$x \neq = \frac{x}{3} - \frac{π}{4} + k π$

$\frac{2}{3} x \neq = - \frac{π}{4} + k π$

Stąd:

$x \neq = - \frac{3 π}{8} + \frac{3 k π}{2}, k \in Z$

Zatem:

$\frac{π}{2} + \frac{π}{3} = \frac{x}{3} - \frac{π}{4} + k π$

$\frac{5 π}{6} = \frac{x}{3} - \frac{π}{4} + k π$

$- \frac{x}{3} + \frac{10 π}{12} = - \frac{3 π}{12} + k π$

$- \frac{x}{3} = - \frac{13 π}{12} + k π$

$x = \frac{13 π}{4} + 3 k π, k \in Z$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Równania - zadania tekstowe

Premium

12:10

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Podstawowe pojęcia dotyczące równań

Premium

10:01

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania tekstowe z układami równań (2)

Premium

12:58

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.