W rozwiązaniu skorzystamy z twierdzenia cosinusów:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cdot \cos \alpha$  

$b^2=a^2+c^2-2ac\cdot \cos \beta$  

$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos \gamma$  

gdy:

a) Wiemy, że:

$b=3\text{dm},c=7\text{dm},\alpha ={60}^{\circ }$  

 

Obliczmy długość trzeciego boku tego trójkąta:

$a^2=3^2+7^2-2\cdot 3\cdot 7\cdot \cos {60}^{\circ }$  

$a^2=9+49-42\cdot \frac{1}{2}$  

$a^2=58-21$  

$a^2=37$  

$a=\sqrt{37}\text{[dm]}$  

 

Odp.: Długość trzeciego boku wynosi √37 dm. 

---

b) Wiemy, że:

$b=4\text{cm},c=\left(2+2\sqrt{3}\right)\text{cm},\alpha ={30}^{\circ }$  

 

Obliczmy długość trzeciego boku tego trójkąta:

$a^2=4^2+{\left(2+2\sqrt{3}\right)}^2-2\cdot 4\cdot \left(2+2\sqrt{3}\right)\cdot \cos {30}^{\circ }$  

$a^2=16+4+8\sqrt{3}+12-8\cdot \left(2+2\sqrt{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$  

$a^2=32+8\sqrt{3}-8\sqrt{3}-24$  

$a^2=8$  

$a=2\sqrt{2}\text{[cm]}$  

 

Odp.: Długość trzeciego boku wynosi 2√2 cm. 

---

c) Wiemy, że:

$a=5\sqrt{2}\text{cm},c=8\text{cm},\beta ={45}^{\circ }$  

 

Obliczmy długość trzeciego boku tego trójkąta:

$b^2={\left(5\sqrt{2}\right)}^2+8^2-2\cdot 5\sqrt{2}\cdot 8\cdot \cos {45}^{\circ }$  

$b^2=50+64-80\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$  

$b^2=114-80$  

$b^2=34$  

$b=\sqrt{34}\text{[cm]}$  

 

Odp.: Długość trzeciego boku wynosi √34 cm. 

---

d) Wiemy, że:

$a=4\text{cm},b=7\text{cm},\gamma ={120}^{\circ }$  

 

Obliczmy długość trzeciego boku tego trójkąta:

$c^2=4^2+7^2-2\cdot 4\cdot 7\cdot \cos {120}^{\circ }$  

$c^2=16+49-56\cdot \cos \left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right)$  

$c^2=65-56\cdot \left(-\cos {60}^{\circ }\right)$  

$c^2=65-56\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$  

$c^2=65+28$  

$c^2=93$  

$c=\sqrt{93}\text{[cm]}$  

 

Odp.: Długość trzeciego boku wynosi √93 cm.