W rozwiązaniu skorzystamy z twierdzenia sinusów:

$\frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }=2R$  

gdy:

Wiemy, że:

$\alpha ={120}^{\circ },\beta ={45}^{\circ },a=9$  

 

Obliczmy miarę kąta 𝛾:

$\gamma ={180}^{\circ }-{120}^{\circ }-{45}^{\circ }={15}^{\circ }$  

 

Obliczmy długość boku b:

$\frac{9}{\sin {120}^{\circ }}=\frac{b}{\sin {45}^{\circ }}$  

$\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$  

$9\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=b\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$  

$b=9\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$  

$b=\frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$  

$b=\frac{9\sqrt{6}}{3}$  

$b=3\sqrt{6}$  

 

Obliczmy długość boku c:

$\frac{9}{\sin {120}^{\circ }}=\frac{c}{\sin {15}^{\circ }}$  

$\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$  

$9\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=c\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$  

$c=9\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$  

$c=9\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$  

$c=\frac{9\cdot \left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\cdot \sqrt{3}}{6}$  

$c=\frac{3\cdot \left(\sqrt{18}-\sqrt{6}\right)}{2}$  

$c=\frac{9\sqrt{2}-3\sqrt{6}}{2}$  

 

Obliczmy promień okręgu opisanego na tym trójkącie:

$\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R$  

$9\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}=2R$  

$\frac{9}{\sqrt{3}}=R$  

$R=\frac{9\sqrt{3}}{3}$  

$R=3\sqrt{3}$