a) Lokujemy 100 zł na procent prosty w banku A i 100 zł w banku B na procent składany.

Obliczmy stan konta w banku A po upływie dwóch lat:

$100\cdot \left(1+2\cdot \frac{p}{100}\right)=100\cdot \left(1+\frac{p}{50}\right)=100+2p$  

Obliczmy stan konta w banku B po upływie dwóch lat:

$100\cdot {\left(1+\frac{p}{100}\right)}^2=100\cdot {\left(\frac{100+p}{100}\right)}^2=$  

$=100\cdot \frac{{\left(100+p\right)}^2}{10000}=\frac{{\left(100+p\right)}^2}{100}=\frac{10000+200p+p^2}{100}=$  

$=100+2p+\frac{p^2}{100}$  

Zatem:

$100+2p+\frac{p^2}{100}>100+2p$  

(ponieważ p>0)

Odp.: Po upływie dwóch lat stan konta w banku B będzie większy niż w banku A, więc pierwsze zdanie jest fałszywe.

---

b) Czy jeśli ulokujesz swój kapitał w banku na procent składany przy rocznej stopie procentowej równej 10% to w okresie krótszym niż 10 lat podwoisz swój kapitał:

x- kapitał ulokowany w banku

Sprawdźmy, czy zachodzi nierówność:

$2x=x\cdot {\left(1+\frac{10}{100}\right)}^{10}$  

$2<{\left(\frac{110}{100}\right)}^{10}$  

$2<{\left(\frac{11}{10}\right)}^{10}$  

$2<2,5937\dots$  

Ta nierówność jest prawdziwa, dla każdej liczby rzeczywistej x.

Odp.: To zdanie jest prawdziwe.