Wiemy, że:

$S_n=n^3,n\in {\mathbb{N}}_{+}$  

 

a) Zauważmy, że:

$a_5=S_5-S_4$  

Zatem:

$a_5=5^3-4^3$  

$a_5=125-64$  

$a_5=61$  

---

b) Zauważmy, że:

$a_4+a_5+a_6=S_6-S_3$  

Zatem:

$a_4+a_5+a_6=6^3-3^3$  

$a_4+a_5+a_6=216-27$  

$a_4+a_5+a_6=189$  

---

c) Zauważmy, że:

$a_7+a_8+a_9+a_{10}=S_{10}-S_6$  

Zatem:

$a_7+a_8+a_9+a_{10}={10}^3-6^3$  

$a_7+a_8+a_9+a_{10}=1000-216$  

$a_7+a_8+a_9+a_{10}=784$  

---

d) Zauważmy, że:

$a_n=S_n-S_{n-1}$  

Zatem:

$a_n=n^3-{\left(n-1\right)}^3$  

$a_n=n^3-\left(n^3-3n^2+3n-1\right)$  

$a_n=n^3-n^3+3n^2-3n+1$  

$a_n=3n^2-3n+1$  

 

Sprawdźmy czy ciąg (a_n) jest arytmetyczny:

$a_{n+1}-a_n=3{\left(n+1\right)}^2-3\left(n+1\right)+1-\left(3n^2-3n+1\right)=$  

$=3\left(n^2+2n+1\right)-3n-3+1-3n^2+3n-1=$  

$=3n^2+6n+3-3n-3+1-3n^2+3n-1=6n$  

 

Różnica między kolejnymi wyrazami tego ciągu nie jest stała, więc ten ciąg nie jest arytmetyczny.