Dana jest nierówność:

$\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{4}\right)>0,x\in \mathbb{R}$  

Rozwiążmy podaną nierówność na dwa sposoby.

I sposób:

Korzystając z wykresu funkcji f(x)=sin(¹/₂x-^𝜋/₄) wyznaczamy argumenty, dla których funkcja f przyjmuje  wartości większe od 0.

Wzór funkcji f zapisujemy w postaci f(x)=sin¹/₂(x-^𝜋/₂), x∈R.

Wykres funkcji f otrzymamy przesuwając równolegle wykres funkcji y=sin^1/₂x o wektor [^𝜋/₂, 0].

$\sin \left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{4}\right)=0\iff \left(x=\frac{\pi }{2}+4k\pi \vee x=\frac{5\pi }{2}+4k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$  

Okres podstawowy funkcji f jest równy 4𝜋. Z wykresu odczytujemy, że zbiorem rozwiązań nierówności sin(¹/₂x-^𝜋/₄)>0 jest suma przedziałów mających postać:

$\left(\frac{\pi }{2}+4k\pi ,\frac{5\pi }{2}+4k\pi \right),k\in \mathbb{Z}$  

II sposób:

Wykonujemy podstawienie: t=¹/₂x-^𝜋/_4, t∈R.

Rozwiązujemy najpierw równanie sint=0

$\sin t=0\iff \left(t=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\vee t=\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$  

Wówczas zbiorem rozwiązań nierówności sint>0,  t∈R jest suma przedziałów mających postać:

$\left(2k\pi ,\pi +2k\pi \right),k\in \mathbb{Z}$  

Zatem t spełnia nierówność podwójną:

$2k\pi <t<\pi +2k\pi$  

$2k\pi <\frac{1}{2}x-\frac{\pi }{4}<\pi +2k\pi \mid +\frac{\pi }{4}$  

$\frac{\pi }{4}+2k\pi <\frac{1}{2}x<\frac{5\pi }{4}+2k\pi \mid \cdot 2$  

$\frac{\pi }{2}+4k\pi <x<\frac{5\pi }{2}+4k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

Zbiorem rozwiązań nierówności sin(¹/₂x-^𝜋/₄)>0, x∈R  jest suma przedziałów mających postać:

$\left(\frac{\pi }{2}+4k\pi ,\frac{5\pi }{2}+4k\pi \right),k\in \mathbb{Z}$