$a\text{)}f\left(x\right)=\frac{4}{{\left(x+7\right)}^2}$  

Dziedziną funkcji f jest zbiór:

$D_f=\mathbb{R}-\left\{-7\right\}$  

Asymptota pionowa może mieć postać:

$x=x_0$  

gdzie x₀ jest miejscem zerowym mianownika występującego we wzorze funkcji f.

Tylko w punkcie -7 granica funkcji f może być niewłaściwa.

$\underset{x\to -7^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -7^{-}}{\lim }\frac{4}{{\left(x+7\right)}^2}=\left[\frac{4}{0^{+}}\right]=+\infty$  

$\underset{x\to -7^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -7^{+}}{\lim }\frac{4}{{\left(x+7\right)}^2}=\left[\frac{4}{0^{+}}\right]=+\infty$  

Prosta opisana równaniem x=-7 jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji f.

---

$b\text{)}f\left(x\right)=\frac{2x-2}{\left|x-1\right|}$  

Dziedziną funkcji f jest zbiór:

$D_f=\mathbb{R}-\left\{1\right\}$  

Asymptota pionowa może mieć postać:

$x=x_0$  

gdzie x₀ jest miejscem zerowym mianownika występującego we wzorze funkcji f.

Tylko w punkcie 1 granica funkcji f może być niewłaściwa.

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x-2}{\left|x-1\right|}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2\cdot \left(x-1\right)}{-\left(x-1\right)}=-2$  

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x-2}{\left|x-1\right|}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2\cdot \left(x-1\right)}{x-1}=2$  

Nie istnieje asymptota pionowa wykresu funkcji f.

---

$c\text{)}f\left(x\right)=\frac{5x}{\sqrt{x^2-1}}$  

Dziedziną funkcji f jest zbiór:

$D_f=\left(-\infty ,-1\right)\cup \left(1,+\infty \right)$  

Asymptota pionowa może mieć postać:

$x=x_0$  

gdzie x₀ jest miejscem zerowym mianownika występującego we wzorze funkcji f.

Tylko w punktach -1 i 1 granica funkcji f może być niewłaściwa.

Zauważmy, że funkcja f jest określona tylko w lewostronnym otoczeniu punktu -1 i w prawostronnym otoczeniu punktu 1, zatem istnieje jedynie lewostronna granica funkcji f w punkcie -1 i prawostronna granica funkcji f w punkcie 1.

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{5x}{\sqrt{x^2-1}}=\left[\frac{-5}{0}\right]=-\infty$  

$\underset{x\to +1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +1^{+}}{\lim }\frac{5x}{\sqrt{x^2-1}}=\left[\frac{5}{0}\right]=+\infty$  

Prosta opisana równaniem x=-1 jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji f, natomiast prosta opisana równaniem x=1 jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji f.