Wykaż na podstawie...- Zadanie 1: Matematyka 3. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

a) Rozważmy funkcję:

$f (x) = \frac{3}{x - 1}$

gdzie:

$x \in R - {1}$

Niech (x_n) będzie ciągiem o wyrazach należących do przedziału (1, +oo) i takim, że:

$n \to \infty lim x_{n} = + \infty$

Wówczas:

$n \to \infty lim \frac{1}{x _{n}} = 0$

Sprawdźmy, czy istnieje granica lim_(n->oo)f(x_n). Mamy:

$f (x_{n}) = \frac{3}{x _{n} - 1} = \frac{\frac{3}{x _{n}}}{\frac{x _{n}}{x _{n}} - \frac{1}{x _{n}}} = \frac{\frac{3}{x _{n}}}{1 - \frac{1}{x _{n}}}$

zatem lim_(n->oo)f(x_n) istnieje oraz

$n \to \infty lim f (x_{n}) = n \to \infty lim \frac{\frac{3}{x _{n}}}{1 - \frac{1}{x _{n}}} = \frac{0}{1} = 0$

Więc funkcja f ma w plus nieskończoności granicę równą 0, co w następujący sposób zapisujemy symbolicznie:

$n \to + \infty lim \frac{3}{x - 1} = 0$

c.n.w.

b) Rozważmy funkcję:

$f (x) = \frac{- 3 x + 2}{1 + 3 x}$

gdzie:

$x \in R - {- \frac{1}{3}}$

Niech (x_n) będzie ciągiem o wyrazach należących do przedziału (-¹/₃, +oo) i takim, że:

$n \to \infty lim x_{n} = + \infty$

Wówczas:

$n \to \infty lim \frac{1}{x _{n}} = 0$

Sprawdźmy, czy istnieje granica lim_(n->oo)f(x_n). Mamy:

$f (x_{n}) = \frac{- 3 x _{n} + 2}{1 + 3 x _{n}} = \frac{- \frac{3 x _{n}}{x _{n}} + \frac{2}{x _{n}}}{\frac{1}{x _{n}} + \frac{3 x _{n}}{x _{n}}} = \frac{- 3 + \frac{2}{x _{n}}}{\frac{1}{x _{n}} + 3}$

zatem lim_(n->oo)f(x_n) istnieje oraz

$n \to \infty lim f (x_{n}) = n \to \infty lim \frac{- 3 + \frac{2}{x _{n}}}{\frac{1}{x _{n}} + 3} = \frac{- 3}{3} = - 1$

Więc funkcja f ma w plus nieskończoności granicę równą -1, co w następujący sposób zapisujemy symbolicznie:

$n \to + \infty lim \frac{- 3 x + 2}{1 + 3 x} = - 1$

c.n.w.

c) Rozważmy funkcję:

$f (x) = \frac{6 x ^{2} - 5}{2 x ^{2} + x}$

gdzie:

$x \in R - {- \frac{1}{2}, 0}$

Niech (x_n) będzie ciągiem o wyrazach należących do przedziału (0, +oo) i takim, że:

$n \to \infty lim x_{n} = + \infty$

Wówczas:

$n \to \infty lim \frac{1}{x _{n}} = 0$

Sprawdźmy, czy istnieje granica lim_(n->oo)f(x_n). Mamy:

$f (x_{n}) = \frac{6 x _{n}^{2} - 5}{2 x _{n}^{2} + x _{n}} = \frac{\frac{6 x _{n}^{2}}{x _{n}^{2}} - \frac{5}{x _{n}^{2}}}{\frac{2 x _{n}^{2}}{x _{n}^{2}} + \frac{x _{n}}{x _{n}^{2}}} = \frac{6 - \frac{5}{x _{n}^{2}}}{2 + \frac{1}{x _{n}}}$