$a\text{)}\frac{2x}{x^2+1}=0$  

Ustalmy dziedzinę tego równania:

$x^2+1\ne 0$  

Zauważmy, że:

$x^2+1>0,x\in \mathbb{R}$  

Zatem:

$D=\mathbb{R}$  

 

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{2x}{x^2+1}=0$  

$2x=0$  

$x=0$  

Podane równanie ma jedno rozwiązanie jest nim liczba  $0.$  

---

$b\text{)}\frac{3}{x^2+2x+1}=0$  

Ustalmy dziedzinę tego równania:

$x^2+2x+1\ne 0$  

${\left(x+1\right)}^2\ne 0$  

$x+1\ne 0$  

$x\ne -1$  

Zatem:

$D=\mathbb{R}-\left\{-1\right\}$  

 

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{3}{x^2+2x+1}=0$  

$3=0$  

Podane równanie jest sprzeczne, zatem to równanie nie ma rozwiązania.

---

$c\text{)}\frac{2x+8}{3x+12}=0$  

Ustalmy dziedzinę tego równania:

$3x+12\ne 0$  

$3\left(x+4\right)\ne 0$  

$x+4\ne 0$  

$x\ne -4$  

Zatem:

$D=\mathbb{R}-\left\{-4\right\}$  

 

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{2x+8}{3x+12}=0$  

$2x+8=0$  

$2x=-8$  

$x=-4\notin D$  

Podane równanie nie ma rozwiązań.

---

$d\text{)}\frac{\left(x-3\right)\left(2x+1\right)}{2x^2-8}=0$  

Ustalmy dziedzinę tego równania:

$2x^2-8\ne 0$  

$2\left(x^2-4\right)\ne 0$  

$2\left(x-2\right)\left(x+2\right)\ne 0$  

$\left(x-2\right)\left(x+2\right)\ne 0$  

$x-2\ne 0\wedge x+2\ne 0$  

$x\ne 2\wedge x\ne -2$  

Zatem:

$D=\mathbb{R}-\left\{-2,2\right\}$  

 

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{\left(x-3\right)\left(2x+1\right)}{2x^2-8}=0$  

$\left(x-3\right)\left(2x+1\right)=0$  

$x-3=0\vee 2x+1=0$  

$x=3\vee x=-\frac{1}{2}$  

Podane równanie ma dwa rozwiązania są nimi liczby  $3$  lub  $-\frac{1}{2}.$  

---

$e\text{)}\frac{3x^2+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$  

Ustalmy dziedzinę tego równania:

$\left(x-2\right)\left(x+1\right)\ne 0$  

$x-2\ne 0\wedge x+1\ne 0$  

$x\ne 2\wedge x\ne -1$  

Zatem:

$D=\mathbb{R}-\left\{-1,2\right\}$  

 

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{3x^2+3}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}=0$  

$3x^2+3=0$  

$3x^2=-3$  

Podane równanie jest sprzeczne, zatem to równanie nie ma rozwiązania.

---

$f\text{)}\frac{1-\frac{1}{4}{x}^2}{5x^2-5x-30}=0$  

Ustalmy dziedzinę tego równania:

$5x^2-5x-30\ne 0$  

$x^2-x-6\ne 0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$  

$x_2=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$  

Zatem:

$D=\mathbb{R}-\left\{-2,3\right\}$  

 

Rozwiążmy podane równanie:

$\frac{1-\frac{1}{4}{x}^2}{5x^2-5x-30}=0$  

$1-\frac{1}{4}{x}^2=0$  

$4-x^2=0$  

$\left(2-x\right)\left(2+x\right)=0$  

$2-x=0\vee 2+x=0$  

$x=2\in D\vee x=-2\notin D$  

Podane równanie ma jedno rozwiązanie jest nim liczba  $2.$