a) Kwadraty ABCD i DEFG są przystające, zatem:

$\left|DC\right|=\left|DE\right|$  

Zauważmy, że:

$\left|\sphericalangle DBC\right|={45}^{\circ }$  

Oraz

$\left|\sphericalangle PEB\right|={90}^{\circ }$  

Zatem trójkąt BEP jest prostokątny i równoramienny, więc:

$\left|EB\right|=\left|EP\right|$  

Oraz

$\left|EP\right|=\left|DE\right|\cdot \sqrt{2}-\left|DE\right|=\left|DE\right|\cdot \left(\sqrt{2}-1\right)$  

Analogicznie:

$\left|\sphericalangle DFE\right|={45}^{\circ }$  

Oraz

$\left|\sphericalangle PCF\right|={90}^{\circ }$  

Zatem trójkąt PCF jest prostokątny i równoramienny, więc:

$\left|CP\right|=\left|CF\right|$  

Oraz

$\left|CP\right|=\left|DE\right|\cdot \sqrt{2}-\left|DE\right|=\left|DE\right|\cdot \left(\sqrt{2}-1\right)$  

Więc:

$\left|EP\right|=\left|CP\right|$  

Czworokąt DEPC ma dwie pary boków tej samej długości, zatem jest to deltoid.

c.n.w.

---

b) Obwód kwadratu jest równy 8, zatem:

$\left|DC\right|=8:4=2$  

Oraz

$\left|DE\right|=2$  

Zatem:

$\left|EP\right|=\left|CP\right|=2\cdot \left(\sqrt{2}-1\right)$  

 

Obliczmy obwód tego deltoidu:

$O=\left|DC\right|+\left|DE\right|+\left|EP\right|+\left|CP\right|=2+2+2\cdot \left(\sqrt{2}-1\right)+2\cdot \left(\sqrt{2}-1\right)=$  

$=4+2\sqrt{2}-2+2\sqrt{2}-2=4\sqrt{2}$  

 

Odp.: Obwód tego deltoidu wynosi 4√2.