$a\text{)}\underset{n\to \infty }{\lim }\left(-6n^3+2n^2-9n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^3\cdot \left(-6+\frac{2}{n}-\frac{9}{n^2}\right)=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^3\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\left(-6+\frac{2}{n}-\frac{9}{n^2}\right)$  

 

Zauważmy, że:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^3=+\infty$  

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(-6+\frac{2}{n}-\frac{9}{n^2}\right)=-6$  

 

Korzystając z twierdzenia 3 podanego na stronie 153 otrzymujemy, że:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^3\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\left(-6+\frac{2}{n}-\frac{9}{n^2}\right)=-\infty$  

---

$b\text{)}\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n^3+2n}{n^2-7}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n+\frac{2}{n}}{1-\frac{7}{n^2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n\cdot \left(1+\frac{2}{n^2}\right)}{1-\frac{7}{n^2}}=$  

$=\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{n^2}}{1-\frac{7}{n^2}}$  

 

Zauważmy, że:

$\underset{n\to \infty }{\lim }n=+\infty$  

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{n^2}}{1-\frac{7}{n^2}}=\frac{1+0}{1-0}=1$  

 

Korzystając z twierdzenia 3 podanego na stronie 153 otrzymujemy, że:

$\underset{n\to \infty }{\lim }n\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{n^2}}{1-\frac{7}{n^2}}=+\infty$