$a\text{)}\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2=+\infty$  

Niech M oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Mamy wskazać taką liczbę 𝜹, że dla każdej liczby naturalnej n większej od  𝜹, spełniona jest nierówność n²> M.

Mamy:

$n^2>M\iff \left|n\right|>\sqrt{\left|M\right|}\iff n>\sqrt{\left|M\right|}$  

ponieważ

$n\in \mathbb{N}$  

 

Możemy przyjąć, że:

$\delta =\sqrt{\left|M\right|}$  

Dla każdej liczby M istnieje taka liczba  𝜹, na przykład  𝜹=√|M|, że dla każdej liczby naturalnej n większej od  𝜹, spełniona jest nierówność n²> M.

To dowodzi, że:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2=+\infty$  

---

$b\text{)}\underset{n\to \infty }{\lim }\left(3-n\right)=-\infty$  

Niech M oznacza dowolną liczbę rzeczywistą. Mamy wskazać taką liczbę 𝜹, że dla każdej liczby naturalnej n większej od  𝜹, spełniona jest nierówność 3-n< M.

Mamy:

$3-n<M\iff -n<M-3\iff n>3-M$  

 

Możemy przyjąć, że:

$\delta =3-M$  

Dla każdej liczby M istnieje taka liczba  𝜹, na przykład  𝜹=3-M, że dla każdej liczby naturalnej n większej od  𝜹, spełniona jest nierówność 3-n< M.

To dowodzi, że:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(3-n\right)=-\infty$