Wprowadźmy oznaczenia:

(a_n) -ciąg geometryczny

(b_n) -ciąg arytmetyczny

 

Wiemy, że: 

$\{\begin{array}{l}{a}_3=b_1\\ a_4=b_2\\ a_5=b_4\end{array}$  

Czyli:

$\{\begin{array}{l}{a}_3=b_1\\ a_4=b_1+4\\ a_5=b_1+12\end{array}$  

Zatem:

$a_4^2=a_3\cdot a_5$  

więc:

${\left(b_1+4\right)}^2=b_1\cdot \left(b_1+12\right)$  

$b_1^2+8b_1+16=b_1^2+12b_1$  

$8b_1+16=12b_1$  

$16=4b_1$  

$b_1=4$  

 

Szukany ciąg geometryczny jest postaci:

$\{\begin{array}{l}{a}_3=4\\ a_4=8\\ a_5=16\end{array}$  

Więc:

$\{\begin{array}{l}q=\frac{8}{4}\\ a_3=a_1\cdot q^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}q=2\\ 4=a_1\cdot 2^2\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}q=2\\ 4=4a_1\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}q=2\\ a_1=1\end{array}$  

 

Obliczmy sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu:

$S_{10}=1\cdot \frac{1-2^{10}}{1-2}=\frac{1-1024}{-1}=\frac{-1023}{-1}=1023$  

 

Odp.: Szukany ciąg geometryczny ma pierwszy wyraz równy 1 i iloraz równy 2. Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 1023.