Wykonaj działania...- Zadanie 2: Matematyka 3. Zakres podstawowy

Rozwiązanie

$a) \frac{3}{x + 1} - (\frac{x + 1}{x} - \frac{3 x}{x + 1})$

Założenia:

$x + 1 \neq = 0 \land x \neq = 0$

$x \neq = - 1 \land x \neq = 0$

$D = R - {- 1, 0}$

Wykonajmy podane działania:

$\frac{3}{x + 1} - (\frac{x + 1}{x} - \frac{3 x}{x + 1}) =$

$= \frac{3}{x + 1} - \frac{( x + 1 ) ^{2} - 3 x ^{2}}{x ( x + 1 )} =$

$= \frac{3 x}{x ( x + 1 )} - \frac{x ^{2} + 2 x + 1 - 3 x ^{2}}{x ( x + 1 )} =$

$= \frac{3 x}{x ( x + 1 )} - \frac{- 2 x ^{2} + 2 x + 1}{x ( x + 1 )} =$

$= \frac{3 x + 2 x ^{2} - 2 x - 1}{x ( x + 1 )} = \frac{2 x ^{2} + x - 1}{x ( x + 1 )} =$

$= \frac{2 x ^{2} + 2 x - x - 1}{x ( x + 1 )} = \frac{2 x ( x + 1 ) - ( x + 1 )}{x ( x + 1 )} =$

$= \frac{( x + 1 ) ( 2 x - 1 )}{x ( x + 1 )} = \frac{2 x - 1}{x}$

$b) \frac{3}{x - 5} \cdot \frac{x ^{2} - 10 x + 25}{x} + \frac{1}{x ^{3} + x ^{2}} : \frac{2}{x + 1}$

Założenia:

$x - 5 \neq = 0 \land x \neq = 0 \land x^{3} + x^{2} \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0$

$x - 5 \neq = 0 \land x \neq = 0 \land x^{2} (x + 1) \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0$

$x - 5 \neq = 0 \land x \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0$

$x \neq = 5 \land x \neq = 0 \land x \neq = - 1$

$D = R - {- 1, 0, 5}$

Wykonajmy podane działania:

$\frac{3}{x - 5} \cdot \frac{x ^{2} - 10 x + 25}{x} + \frac{1}{x ^{3} + x ^{2}} : \frac{2}{x + 1} =$

$= \frac{3}{x - 5} \cdot \frac{( x - 5 ) ^{2}}{x} + \frac{1}{x ^{2} ( x + 1 )} : \frac{2}{x + 1} =$

$= 3 \cdot \frac{x - 5}{x} + \frac{1}{x ^{2} ( x + 1 )} \cdot \frac{x + 1}{2} =$

$= 3 \cdot \frac{x - 5}{x} + \frac{1}{x ^{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 x - 15}{x} + \frac{1}{2 x ^{2}} =$

$= \frac{( 3 x - 15 ) \cdot 2 x}{2} x^{2} + \frac{1}{2 x ^{2}} = \frac{6 x ^{2} - 30 x + 1}{2 x ^{2}}$

$c) \frac{2 - x}{x - 3} - (\frac{x - 3}{x + 2} + \frac{2 x - 5}{3 - x})$

Założenia:

$x - 3 \neq = 0 \land x + 2 \neq = 0 \land 3 - x \neq = 0$

$x \neq = 3 \land x \neq = - 2$

$D = R - {- 2, 3}$

Wykonajmy podane działania:

$\frac{2 - x}{x - 3} - (\frac{x - 3}{x + 2} + \frac{2 x - 5}{3 - x}) =$

$= \frac{2 - x}{x - 3} - (\frac{( x - 3 ) ( 3 - x )}{( x + 2 ) ( 3 - x )} + \frac{( 2 x - 5 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( 3 - x )}) =$

$= \frac{2 - x}{x - 3} - \frac{( x - 3 ) ( 3 - x ) + ( 2 x - 5 ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( 3 - x )}) =$

$= \frac{2 - x}{x - 3} - \frac{3 x - x ^{2} - 9 + 3 x + 2 x ^{2} + 4 x - 5 x - 10}{( x + 2 ) ( 3 - x )} =$

$= \frac{2 - x}{x - 3} - \frac{x ^{2} + 5 x - 19}{( x + 2 ) ( 3 - x )} =$

$= \frac{2 - x}{x - 3} + \frac{x ^{2} + 5 x - 19}{( x + 2 ) ( x - 3 )} =$

$= \frac{( 2 - x ) ( x + 2 )}{( x + 2 ) ( x - 3 )} + \frac{x ^{2} + 5 x - 19}{( x + 2 ) ( x - 3 )} =$

$= \frac{4 - x ^{2}}{( x + 2 ) ( x - 3 )} + \frac{x ^{2} + 5 x - 19}{( x + 2 ) ( x - 3 )} =$

$= \frac{4 - x ^{2} + x ^{2} + 5 x - 19}{( x + 2 ) ( x - 3 )} =$

$= \frac{5 x - 15}{( x + 2 ) ( x - 3 )} = \frac{5 ( x - 3 )}{( x + 2 ) ( x - 3 )} = \frac{5}{x + 2}$

$d) (1 + \frac{2}{x - 1}) \cdot \frac{x ^{2} + 4 x - 5}{2 x ^{2} - 2}$

Założenia:

$x - 1 \neq = 0 \land 2 x^{2} - 2 \neq = 0$

$x \neq = 1 \land 2 x^{2} \neq = 2$

$x \neq = 1 \land x^{2} \neq = 1$

$x \neq = 1 \land x \neq = - 1$

$D = R - {- 1, 1}$

Wykonajmy podane działania:

$(1 + \frac{2}{x - 1}) \cdot \frac{x ^{2} + 4 x - 5}{2 x ^{2} - 2} =$

$= (\frac{x - 1}{x - 1} + \frac{2}{x - 1}) \cdot \frac{x ^{2} + 5 x - x - 5}{2 ( x ^{2} - 1 )} =$

$= \frac{x - 1 + 2}{x - 1} \cdot \frac{x ( x + 5 ) - ( x + 5 )}{2 ( x - 1 ) ( x + 1 )} =$

$= \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{( x + 5 ) ( x - 1 )}{2 ( x - 1 ) ( x + 1 )} =$

$= \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 5}{2} = \frac{x + 5}{2 ( x - 1 )} = \frac{x + 5}{2 x - 2}$

Uwaga: Odpowiedź podana w podręczniku do tego podpunktu jest niepoprawna.

$e) 1 - \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{3 x} : \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{x}$

Założenia:

$3 x \neq = 0 \land x^{2} - 2 x - 3 \neq = 0 \land x \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x^{2} - 3 x + x - 3 \neq = 0 \land x \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x (x - 3) + x - 3 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land (x - 3) (x + 1) \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x - 3 \neq = 0 \land x + 1 \neq = 0$

$x \neq = 0 \land x \neq = 3 \land x \neq = - 1$

$D = R - {- 1, 0, 3}$

Wykonajmy podane działania:

$1 - \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{3 x} : \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{x} =$

$= 1 - \frac{( x + 1 ) ^{2}}{3 x} : \frac{( x - 3 ) ( x + 1 )}{x} =$

$= 1 - \frac{x + 1}{3} \cdot \frac{1}{x - 3} = 1 - \frac{x + 1}{3 ( x - 3 )} =$

$= 1 - \frac{x + 1}{3 x - 9} = \frac{3 x - 9}{3 x - 9} - \frac{x + 1}{3 x - 9} =$

$= \frac{3 x - 9 - x - 1}{3 x - 9} = \frac{2 x - 10}{3 x - 9}$

$f) \frac{x - 2}{x - 1} - \frac{x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x - 4}{x ^{2} + 5 x + 6}$

Założenia:

$x - 1 \neq = 0 \land x^{2} + 5 x + 6 \neq = 0$

$x \neq = 1 \land x^{2} + 2 x + 3 x + 6 \neq = 0$

$x \neq = 1 \land x (x + 2) + 3 (x + 2) \neq = 0$

$x \neq = 1 \land (x + 2) (x + 3) \neq = 0$

$x \neq = 1 \land x + 2 \neq = 0 \land x + 3 \neq = 0$

$x \neq = 1 \land x \neq = - 2 \land x \neq = - 3$

$D = R - {- 3, - 2, 1}$

Wykonajmy podane działania:

$\frac{x - 2}{x - 1} - \frac{x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x - 4}{x ^{2} + 5 x + 6} =$

$= \frac{x - 2}{x - 1} - \frac{x + 3}{x - 1} \cdot \frac{x - 4}{( x + 2 ) ( x + 3 )} =$

$= \frac{x - 2}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x - 4}{x + 2} =$

$= \frac{x - 2}{x - 1} - \frac{x - 4}{( x - 1 ) ( x + 2 )} =$

$= \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )} - \frac{x - 4}{( x - 1 ) ( x + 2 )} =$

$= \frac{x ^{2} - 2 ^{2} - x + 4}{( x - 1 ) ( x + 2 )} =$

$= \frac{x ^{2} - x}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{x ( x - 1 )}{( x - 1 ) ( x + 2 )} = \frac{x}{x + 2}$

Aleksandra Filipowska

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Zadania optymalizacyjne - algebra (2)

Premium

9:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania tekstowe z układami równań (1)

Premium

11:09

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Zadania tekstowe z układami równań (2)

Premium

12:58

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.