Sprawdźmy monotoniczność tego ciągu.

Sprawdźmy, czy ciąg jest rosnący.

$a_{n+1}>a_n$                             

$\frac{3\left(n+1\right)+2}{5\left(n+1\right)}>\frac{3n+2}{5n}$  

$\frac{3n+3+2}{5n+5}>\frac{3n+2}{5n}\mid \cdot 5n>0$  

$5n\cdot \frac{3n+5}{5n+5}>3n+2\mid \cdot \left(5n+5\right)>0$  

$5n\left(3n+5\right)>\left(3n+2\right)\left(5n+5\right)$  

$15n^2+25n>15n^2+15n+10n+10\mid -15n^2-25n$  

$0>10$  

Sprzeczność.

Zatem łatwo zauważyć, że a_n+1<a_n, czyli jest to ciąg malejący.

 

Obliczmy granicę tego ciągu.

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3n+2}{5n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n\left(3+\frac{2}{n}\right)}{5n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3+\frac{2}{n}}{5}=\frac{3}{5}$  

Ciąg jest malejący, zatem najmniejszą liczbą q spełniającą nierówność $q\le a_n\le p$    jest:

$q=\frac{3}{5}$  

Wiemy, że  $n\in {\mathbb{N}}_{+},$   zatem dla n=1 mamy:

$a_1=\frac{3\cdot 1+2}{5\cdot 1}=\frac{3+2}{5}=\frac{5}{5}=1$  

Zatem otrzymujemy:

$p=1$