${\left(x+1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=12$  

$S_1\left(-1,4\right),r_1=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$  

Rysunek pomocniczy:

    

 

Punkt symetryczny do punktu $S_1$   względem osi OY to punkt  $S_2\left(1,4\right).$  

Równanie szukanego okręgu:

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=12$  

 

Wyznaczmy współrzędne punktów A i B.

$\{\begin{array}{l}{\left(x+1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=12\\ {\left(x-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=12\end{array}$  

Odejmując stronami mamy:

${\left(x+1\right)}^2-{\left(x-1\right)}^2=0$  

$x^2+2x+1-\left(x^2-2x+1\right)=0$  

$x^2+2x+1-x^2+2x-1=0$  

$4x=0$  

$x=0$  

Zatem mamy:

$\{\begin{array}{l}x=0\\ {\left(0-1\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=12\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=0\\ 1+y^2-8y+16=12\end{array}$  

$\{\begin{array}{l}x=0\\ y^2-8y+5=0\end{array}$  

$\Delta ={\left(-8\right)}^2-4\cdot 1\cdot 5=64-20=44$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{44}=2\sqrt{11}$  

$y_1=\frac{8-2\sqrt{11}}{2}=4-\sqrt{11}$  

$y_2=\frac{8+2\sqrt{11}}{2}=4+\sqrt{11}$  

Zatem mamy:

$A\left(0,4-\sqrt{11}\right),B\left(0,4+\sqrt{11}\right)$  

 

Wyznaczmy długość cięciwy AB.

$\left|AB\right|=\left|4+\sqrt{11}-\left(4-\sqrt{11}\right)\right|=\left|4+\sqrt{11}-4+\sqrt{11}\right|=2\sqrt{11}$