$4{\cos }^{2}x=4\sin x+1$  

$4\left(1-{\sin }^{2}x\right)=4\sin x+1$  

$4-4{\sin }^{2}x=4\sin x+1$                         

$-4{\sin }^{2}x-4\sin x+3=0$  

Podstawmy:   $t=\sin x$  

$-4t^2-4t+3=0$  

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot \left(-4\right)\cdot 3=16+16\cdot 3=16+48=64$  

$\sqrt{\Delta }=8$  

$t_1=\frac{4-8}{2\cdot \left(-4\right)}=\frac{-4}{-8}=\frac{1}{2}$  

$t_2=\frac{4+8}{2\cdot \left(-4\right)}=\frac{12}{-8}=-\frac{3}{2}$  

Zatem mamy:

$\sin x=\frac{1}{2}\vee \sin x=-\frac{3}{2}\text{sprzecznosˊcˊ}$  

$\sin x=\frac{1}{2}$  

$x=\frac{\pi }{6}+2k\pi \vee x=\frac{5}{6}\pi +2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$  

W przedziale  $⟨0,2\pi ⟩$   otrzymujemy:

$x=\frac{\pi }{6},x=\frac{5}{6}\pi$