$f\left(x\right)=\frac{3x}{x+1}$  

Niech  $x\in \left(-1,+\infty \right)$  

Wyznaczmy pochodną tej funkcji.    

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(3x\right){}^{\prime }\left(x+1\right)-3x\left(x+1\right){}^{\prime }}{{\left(x+1\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{3\left(x+1\right)-3x\cdot 1}{{\left(x+1\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{3x+3-3x}{{\left(x+1\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}$  

Zauważmy, że funkcja f jest różniczkowalna w przedziale  $\left(-1,+\infty \right).$  

Zauważmy, że pochodna funkcji f jest dodatnia w każdym punkcie przedziału  $\left(-1,+\infty \right).$  

Zatem funkcja f jest rosnąca w tym przedziale, co należało pokazać.