Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościany o objętości 8- Zadanie 3: MATeMAtyka 3. Maturalne karty pracy zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

$x$ - długość jednej z krawędzi, $x > 0$

$2 x$ - długość drugiej krawędzi

$8$ - objętość

Długość trzeciej krawędzi jest równa:

$\frac{8}{x \cdot 2 x} = \frac{4}{x ^{2}}$

Łączna długość krawędzi jest mniejsza niż 28, a więc:

$4 \cdot x + 4 \cdot 2 x + 4 \cdot \frac{4}{x ^{2}} < 28$

$4 x + 8 x + \frac{16}{x ^{2}} < 28$

$12 x - 28 + \frac{16}{x ^{2}} < 0 ∣ \cdot x^{2}$

$12 x^{3} - 28 x^{2} + 16 < 0 ∣ : 4$

$3 x^{3} - 7 x^{2} + 4 < 0$

Sprawdźmy, czy $x = 1$ jest pierwiastkiem wielomianu $w (x) = 3 x^{3} - 7 x^{2} + 4$ :

$w (1) = 3 - 7 + 4 = 0$

Podzielmy zatem ten wielomian przez dwumian $x - 1$ :

$(x - 1) (3 x^{2} - 4 x - 4) < 0$

$3 x^{2} - 4 x - 4 = 0$

$Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 4) = 16 + 48 = 64$

$Δ = 8$

$x_{1} = \frac{4 - 8}{3 \cdot 2} = - \frac{4}{6} = - \frac{2}{3}$

$x_{2} = \frac{4 + 8}{3 \cdot 2} = \frac{12}{6} = 2$

Zatem mamy:

$3 (x - 1) (x + \frac{2}{3}) (x - 2) < 0$

Wiemy, że $x$ musi być liczbą dodatnią, a więc dziedziną szukanej funkcji jest zbiór

$\underline{x \in (1, 2)}$

Pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu opisuje funkcja:

$f (x) = 2 \cdot (x \cdot 2 x + x \cdot \frac{4}{x ^{2}} + 2 x \cdot \frac{4}{x ^{2}}) = 2 \cdot (2 x^{2} + \frac{4}{x} + \frac{8}{x}) = 2 \cdot (2 x^{2} + \frac{12}{x}) = \underline{4 x^{2} + \frac{24}{x}}$

Chcemy wyznaczyć, jakie najmniejsze pole może mieć ten prostopadłościan. W tym celu obliczmy pochodną funkcji $f (x)$ i znajdźmy jej ekstremum (jeżeli je posiada):

$f^{'} (x) = (4 x^{2})^{'} + (\frac{40}{x})^{'} = 8 x - \frac{24}{x ^{2}}$