$f\left(x\right)=\frac{x^2+4x+8}{x+2}$  

Zał:

$x+2\ne 0$  

$x\ne -2$  

 

Wyznaczmy pochodną tej funkcji.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x^2+4x+8\right){}^{\prime }\left(x+2\right)-\left(x^2+4x+8\right)\left(x+2\right){}^{\prime }}{{\left(x+2\right)}^2}$           

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(2x+4\right)\left(x+2\right)-\left(x^2+4x+8\right)\cdot 1}{{\left(x+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{2x^2+4x+4x+8-x^2-4x-8}{{\left(x+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{x^2+4x}{{\left(x+2\right)}^2}$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{x\left(x+4\right)}{{\left(x+2\right)}^2}$  

 

Sprawdźmy kiedy f'(x)≥0.

$\frac{x\left(x+4\right)}{{\left(x+2\right)}^2}\ge 0$  

$x\left(x+4\right)\ge 0$  

$x\in (-\infty ,-4⟩\cup ⟨0,+\infty )$  

 

Sprawdźmy kiedy f'(x)≤0.

$\frac{x\left(x+4\right)}{{\left(x+2\right)}^2}\le 0$  

$x\left(x+4\right)\le 0$  

$x\in ⟨-4,0⟩$  

Uwzględniając dziedzinę mamy:

$x\in ⟨-4,-2)\cup (-2,0⟩$  

 

Przedziały monotoniczności (pamiętajmy o dziedzinie funkcji):

funkcja jest rosnąca w przedziale:  $(-\infty ,-4⟩,⟨0,+\infty )$  

funkcja jest malejąca w przedziale:  $⟨-4,-2),(-2,0⟩$  

 

Ekstrema lokalne funkcji:

minimum lokalne: x=0

$f\left(0\right)=\frac{0^2+4\cdot 0+8}{0+2}=\frac{8}{2}=4$  

maksimum lokalne: x=-4

$f\left(-4\right)=\frac{{\left(-4\right)}^2+4\cdot \left(-4\right)+8}{-4+2}=\frac{16-16+8}{-2}=\frac{8}{-2}=-4$