$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^4+\frac{5}{3}{x}^3-k{x}^2+5$  

Wyznaczmy pochodną tej funkcji.

$f{}^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot 4x^3+\frac{5}{3}\cdot 3x^2-k\cdot 2x$             

$f{}^{\prime }\left(x\right)=2x^3+5x^2-2kx$  

$f{}^{\prime }\left(x\right)=x\left(2x^2+5x-2k\right)$  

Łatwo zauważyć, że funkcja f jest rosnąca w każdym z przedziałów  $⟨-3,0⟩,⟨\frac{1}{2},+\infty )$   i malejąca w każdym z przedziałów  $(-\infty ,-3⟩,⟨0,\frac{1}{2}⟩,$  gdy miejsca zerowe pochodnej funkcji to  $x_1=0,x_2=-3,x_3=\frac{1}{2}$  

Zatem otrzymujemy:

$2x^2+5x-2k=2\left(x+3\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$  

$2x^2+5x-2k=2\left(x^2-\frac{1}{2}x+3x-\frac{3}{2}\right)$  

$2x^2+5x-2k=2x^2-x+6x-3$  

$2x^2+5k-2k=2x^2+5x-3$  

$-2k=-3\mid :\left(-2\right)$  

$k=\frac{3}{2}$