a) Ponieważ spełniony jest warunek  $\left|q\right|<1,$  to ten szereg geometryczny jest zbieżny.

Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego. 

$S=\frac{a_1}{1-q}$  

Stąd otrzymujemy:

$S=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$  

Suma  $n$  początkowych wyrazów ciągu geometrycznego  $\left(a_n\right)$  ma różnić się od liczby 3 o mniej niż 0,05. Możemy więc zapisać nierówność:

$2,95<S_n<3,05$  

Powyższą nierówność podwójną zapiszemy w postaci dwóch nierówności pojedynczych i każdą z nich rozwiążemy osobno.

$\left(1\right)2,95<S_n$  

$\frac{295}{100}<a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$  

$\frac{59}{20}<1\cdot \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{1-\frac{2}{3}}$  

$\frac{59}{20}<\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{\frac{1}{3}}\mid \cdot \frac{1}{3}$  

$\frac{59}{60}<1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n)\mid -1$  

$-\frac{1}{60}<-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\frac{1}{60}>{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$  

Korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej.

${\log }_{\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{60}\right)<{\log }_{\frac{2}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$  

${\log }_{\frac{2}{3}}\left(\frac{1}{60}\right)<n$  

Zatem:

$n>10,09$  

$\left(2\right)S_n<3,05$  

$a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}<\frac{305}{100}$  

$1\cdot \frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{1-\frac{2}{3}}<\frac{61}{20}$  

$\frac{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{\frac{1}{3}}<\frac{61}{20}\mid \cdot \frac{1}{3}$  

$1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n<\frac{61}{60}\mid -1$  

$-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n<\frac{1}{60}\mid \cdot \left(-1\right)$  

${\left(\frac{2}{3}\right)}^n>-\frac{1}{60}$  

Dowolna potęga liczby  $\frac{2}{3}$  jest liczbą nieujemną.

Wobec tego:

$n>10,09$  

Należy dodać co najmniej 11 wyrazów ciągu  $\left(a_n\right).$  

---

b) Ponieważ spełniony jest warunek  $\left|q\right|<1,$  to ten szereg geometryczny jest zbieżny.

Korzystamy ze wzoru na sumę szeregu geometrycznego. 

$S=\frac{a_1}{1-q}$  

Stąd otrzymujemy:

$S=\frac{100}{1-0,9}=\frac{100}{0,1}=1000$  

Suma  $n$  początkowych wyrazów ciągu geometrycznego  $\left(a_n\right)$  ma różnić się od liczby 1000 o mniej niż 1. Możemy więc zapisać nierówność:

$999<S_n<1001$  

Powyższą nierówność podwójną zapiszemy w postaci dwóch nierówności pojedynczych i każdą z nich rozwiążemy osobno.

$\left(1\right)999<S_n$  

$999<a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$  

$999<100\cdot \frac{1-{\left(0,9\right)}^n}{1-0,9}$  

$999<100\cdot \frac{1-{\left(0,9\right)}^n}{0,1}$  

$999<1000\cdot \left(1-{\left(0,9\right)}^n\right)\mid :1000$  

$\frac{999}{1000}<1-{\left(0,9\right)}^n\mid -1$  

$-\frac{1}{1000}<-{\left(0,9\right)}^n\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\frac{1}{1000}>{\left(0,9\right)}^n$  

Korzystamy z monotoniczności funkcji wykładniczej.

${\log }_{0,9}\left(\frac{1}{1000}\right)<{\log }_{0,9}{\left(0,9\right)}^n$  

${\log }_{0,9}\left(\frac{1}{1000}\right)<n$  

Zatem:

`65,56  

$\left(2\right)S_n<1001$

 

$a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}<1001$  

$100\cdot \frac{1-{\left(0,9\right)}^n}{1-0,9}<1001$  

$100\cdot \frac{1-{\left(0,9\right)}^n}{0,1}<1001$  

$1000\cdot \left(1-{\left(0,9\right)}^n\right)<1001\mid :1000$  

$1-{\left(0,9\right)}^n<\frac{1001}{1000}\mid -1$  

$-{\left(0,9\right)}^n<\frac{1}{1000}\mid \cdot \left(-1\right)$  

${\left(0,9\right)}^n\succ \frac{1}{1000}$  

Dowolna potęga liczby  $0,9$  jest liczbą nieujemną.

Wobec tego:

$n>65,56$  

Należy dodać co najmniej 66 wyrazów ciągu  $\left(a_n\right).$