a) Korzystamy ze związku zachodzącego między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego.

$a_5^2=a_4\cdot a_6$  

$a_5^2=15\cdot \frac{3}{5}$  

$a_5^2=9$  

$\left|a_5\right|=3$  

$a_5=3\vee a_5=-3$  

Ciąg  $\left(a_n\right)$  jest malejący, więc:

$a_5=3$  

---

b) Korzystamy ze związku zachodzącego między odpowiednimi wyrazami ciągu geometrycznego. 

$a_3^2=a_1\cdot a_5$  

$b^2=16\cdot \frac{1}{4}$  

$b^2=4$  

$\left|b\right|=2$  

$b=-2\vee b=2$  

Liczby ciągu  $\left(a_n\right)$  są dodanie, więc:

$b=2$  

Ponownie korzystamy ze związku zachodzącego między odpowiednimi wyrazami ciągu geometrycznego i wyznaczamy  $a.$  

$a_2^2=a_1\cdot a_3$  

$a^2=16\cdot 2$  

$a^2=32$  

$\left|a\right|=4\sqrt{2}$  

$a=-4\sqrt{2}\vee a=4\sqrt{2}$  

Liczby ciągu  $\left(a_n\right)$  są dodanie, więc:

$a=4\sqrt{2}$  

W analogiczny sposób wyznaczamy  $c.$  

$a_4^2=a_3\cdot a_5$  

$c^2=2\cdot \frac{1}{4}$  

$c^2=\frac{1}{2}$  

$\left|c\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$  

$\left|c\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$c=-\frac{\sqrt{2}}{2}\vee c=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Liczby ciągu  $\left(a_n\right)$  są dodanie, więc:

$c=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

---

c) Szukane liczby oznaczmy przez  $a,$   $b$   $c$   $d$  i  $e.$  

Liczby  $64,$   $a,$   $b,$   $c,$   $d,$   $e,$   $8$  tworzą siedem kolejnych wyrazy ciągu geometrycznego.

Iloraz tego ciągu oznaczmy przez $q.$  

Korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu geometrycznego.

$a_7=a_1\cdot q^6$  

$8=64\cdot q^6\mid :64$  

$\frac{1}{8}=q^6$  

$\frac{1}{2}=q^2$  

$\left|q\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$  

$\left|q\right|=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$q=-\frac{\sqrt{2}}{2}\vee q=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Wyznaczamy szukane liczby.

$\left(1\right)q=-\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$a=a_1\cdot q=64\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-32\sqrt{2}$  

$b=a\cdot q=-32\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=32$  

$c=b\cdot q=32\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-16\sqrt{2}$  

$d=c\cdot q=-16\sqrt{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=16$  

$e=d\cdot q=16\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-8\sqrt{2}$  

$\left(2\right)q=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

$a=a_1\cdot q=64\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=32\sqrt{2}$  

$b=a\cdot q=32\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=32$  

$c=b\cdot q=32\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=16\sqrt{2}$  

$d=c\cdot q=16\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=16$  

$e=d\cdot q=16\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}$