W pewnym ciągu arytmetycznym ...- Zadanie 124: Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

Niech $(a_{n})$ będzie ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie $a_{1}$ i różnicy $r .$

Wyznaczamy sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu.

$S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{a _{1} + a _{1} + ( n - 1 ) r}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) r}{2} \cdot n$

Wyznaczamy sumę $2 n$ początkowych wyrazów ciągu.

$S_{2 n} = \frac{a _{1} + a _{2 n}}{2} \cdot 2 n = \frac{a _{1} + a _{1} + ( 2 n - 1 ) r}{2} \cdot 2 n = \frac{2 a _{1} + ( 2 n - 1 ) r}{2} \cdot 2 n$

Z treści zadania wiemy, że:

$\frac{S _{2 n}}{S _{n}} = 3$

Możemy więc zapisać równanie:

$\frac{\frac{2 a _{1} + ( 2 n - 1 ) r}{2} \cdot 2 n}{\frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) r}{2} \cdot n} = 3$

$\frac{( 2 a _{1} + ( 2 n - 1 ) r ) \cdot 2}{2 a _{1} + ( n - 1 ) r} = 3 ∣ \cdot (2 a_{1} + (n - 1) r)$

$2 (2 a_{1} + (2 n - 1) r) = 3 (2 a_{1} + (n - 1) r)$

$4 a_{1} + 2 r (2 n - 1) = 6 a_{1} + 3 r (n - 1) ∣ - 2 a_{1}$

$4 n r - 2 r = 2 a_{1} + 3 n r - 3 r ∣ - 3 n r$

$n r - 2 r = 2 a_{1} - 3 r ∣ + 3 r$

$n r + r = 2 a_{1} ∣ : 2$

$\frac{n r + r}{2} = a_{1}$

$\frac{r ( n + 1 )}{2} = a_{1}$

Wyznaczamy sumę $3 n$ początkowych wyrazów ciągu.

$S_{3 n} = \frac{a _{1} + a _{3 n}}{2} \cdot 3 n = \frac{a _{1} + a _{1} + ( 3 n - 1 ) r}{2} \cdot 3 n = \frac{2 a _{1} + ( 3 n - 1 ) r}{2} \cdot 3 n$

Zatem:

$\frac{S _{3 n}}{S _{n}} = \frac{\frac{2 a _{1} + ( 3 n - 1 ) r}{2} \cdot 3 n}{\frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) r}{2} \cdot n} = \frac{( 2 a _{1} + ( 3 n - 1 ) r ) \cdot 3}{2 a _{1} + ( n - 1 ) r} = \frac{6 a _{1} + 3 r ( 3 n - 1 )}{2 a _{1} + ( n - 1 ) r} = \frac{6 a _{1} + 9 n r - 3 r}{2 a _{1} + n r - r} = \frac{6 \cdot \frac{r ( n + 1 )}{2} + 9 n r - 3 r}{2 \cdot \frac{r ( n + 1 )}{2} + n r - r} = \frac{3 r ( n + 1 ) + 9 n r - 3 r}{r ( n + 1 ) + n r - r} = \frac{3 n r + 3 r + 9 n r - 3 r}{n r + r + n r - r} = \frac{12 n r}{2 n r} = 6$