a)   $b_n=-5a_n$  

Ciąg  $\left(a_n\right)$  jest rosnący, więc:

$a_{n+1}-a_n>0$  

Obliczamy różnicę $b_{n+1}-b_n,$  aby określić monotoniczność ciągu  $\left(b_n\right).$   

$b_{n+1}-b_n=-5a_{n+1}-\left(-5a_n\right)=-5a_{n+1}+5a_n=-5\left(a_{n+1}-a_n\right)$  

Ponieważ  $b_{n+1}-b_n<0,$  więc  $b_{n+1}<b_n.$  Zatem ciąg $\left(b_n\right)$  jest malejący.

---

b)   $b_n=\frac{a_n}{3}$  

Ciąg  $\left(a_n\right)$  jest rosnący, więc:

$a_{n+1}-a_n>0$  

Obliczamy różnicę $b_{n+1}-b_n,$  aby określić monotoniczność ciągu  $\left(b_n\right).$   

$b_{n+1}-b_n=\frac{a_{n+1}}{3}-\frac{a_n}{3}=\frac{a_{n+1}-a_n}{3}$  

Ponieważ  $b_{n+1}-b_n>0,$  więc  $b_{n+1}>b_n.$  Zatem ciąg $\left(b_n\right)$  jest rosnący.

---

c)   $b_n={\left(a_n\right)}^2$  

Ciąg  $\left(a_n\right)$  jest rosnący, więc:

$a_{n+1}-a_n>0$  

Obliczamy różnicę $b_{n+1}-b_n,$  aby określić monotoniczność ciągu  $\left(b_n\right).$   

$b_{n+1}-b_n={\left(a_{n+1}\right)}^2-{\left(a_n\right)}^2=\left(a_{n+1}-a_n\right)\left(a_{n+1}+a_n\right)$  

Nie jesteśmy w stanie ustalić znaku sumy  $a_{n+1}+a_n,$  więc nie możemy ustalić monotoniczności ciągu  $\left(b_n\right).$  

---

d)   $b_n=a_n+a_{n+1}$  

Ciąg  $\left(a_n\right)$  jest rosnący, więc:

$a_{n+1}-a_n>0$  

Obliczamy różnicę $b_{n+1}-b_n,$  aby określić monotoniczność ciągu  $\left(b_n\right).$   

$b_{n+1}-b_n=a_{n+1}+a_{n+1+1}-\left(a_n+a_{n+1}\right)=a_{n+1}+a_{n+2}-a_n-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n+a_{n+2}-a_{n+1}$  

Ponieważ  $b_{n+1}-b_n>0,$  więc  $b_{n+1}>b_n.$  Zatem ciąg $\left(b_n\right)$  jest rosnący.