Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Korzystamy ze wzoru na długość wysokości trójkąta równobocznego i wyznaczamy H. 

$H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$  

Odcinek oznaczony literą x stanowi jedną trzecią długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości a, ponieważ punkt przecięcia wysokości w trójkącie równobocznym dzieli odcinki będące wysokościami w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka, więc:

$x=\frac{1}{3}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$  

Objętość ostrosłupa równa jest 27. Stąd otrzymujemy:

$\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H=27$  

$\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=27$  

$\frac{a^3}{8}=27\mid \cdot 8$

$a^3=216$  

$a=6$  

Wobec tego:

$H=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$  

$x=\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{6\sqrt{3}}{6}\sqrt{3}$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość wysokości ściany bocznej.

$h^2=x^2+H^2$  

$h^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2$  

$h^2=3+27$  

$h^2=30$  

$h=\sqrt{30}$  

Obliczamy pole powierzchni bocznej ostrosłupa.

$P_b=3\cdot \frac{a\cdot h}{2}=3\cdot \frac{6\cdot \sqrt{30}}{2}=3\cdot 3\sqrt{30}=9\sqrt{30}$  

Z zależności trygonometrycznych otrzymujemy:

$\cos \alpha =\frac{x}{h}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}}=\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$  

---

---

${\mathbf{P}}_{\mathbf{b}}=9\sqrt{30},\cos \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$