a) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Korzystamy ze wzoru na długość przekątnej kwadratu i wyznaczamy długość odcinka a. 

$a=\sqrt{2}$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość wysokości przekroju prostopadłościanu.

$h^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+2^2$  

$h^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+4$  

$h^2=\frac{2}{4}+4$  

$h^2=\frac{1}{2}+\frac{8}{2}$  

$h^2=\frac{9}{2}$  

$h=\frac{3}{\sqrt{2}}$  

Obliczamy pole przekroju.

$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}}{2}=\frac{3}{2}$  

---

$\mathbf{P}=\frac{3}{2}$  

---

---

b) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Korzystamy ze wzoru na długość przekątnej kwadratu i wyznaczamy długość odcinka a.

$a=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość wysokości przekroju prostopadłościanu.

$h^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+1^2$  

$h^2={\left(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\right)}^2+1$  

$h^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^2+1$  

$h^2=\frac{2}{16}+1$  

$h^2=\frac{1}{8}+\frac{8}{8}$  

$h^2=\frac{9}{8}$  

$h=\frac{3}{2\sqrt{2}}$  

Obliczamy pole przekroju.

$P=\frac{a\cdot h}{2}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{3}{2\sqrt{2}}}{2}=\frac{\frac{3}{4}}{2}=\frac{3}{8}$  

---

$\mathbf{P}=\frac{3}{8}$  

---

---

c) Przyjmijmy oznaczenia jak na poniższym rysunku.

Korzystamy ze wzoru na długość przekątnej kwadratu i wyznaczamy długości odcinków a i b.

$a=\sqrt{2}$  

$b=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$  

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i wyznaczamy długość wysokości przekroju prostopadłościanu.

$h^2={\left(\frac{b}{2}\right)}^2+2^2$  

$h^2={\left(\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}\right)}^2+4$  

$h^2={\left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)}^2+4$  

$h^2=\frac{2}{16}+4$  

$h^2=\frac{1}{8}+\frac{32}{8}$  

$h^2=\frac{33}{8}$  

$h=\frac{\sqrt{33}}{2\sqrt{2}}$  

Obliczamy pole przekroju.

$P=\frac{\left(a+b\right)\cdot h}{2}=\frac{\left(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot \frac{\sqrt{33}}{2\sqrt{2}}}{2}=\frac{\left(\frac{2\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot \frac{\sqrt{33}}{2\sqrt{2}}}{2}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{33}}{2\sqrt{2}}}{2}=\frac{\frac{3\sqrt{33}}{4}}{2}=\frac{3\sqrt{33}}{8}$  

---

$\mathbf{P}=\frac{3\sqrt{33}}{8}$