Rozwiąż nierówność ...- Zadanie 48: Matematyka z plusem 3. Zakres podstawowy i rozszerzony

Rozwiązanie

a) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których mianownik ułamka jest różny od 0 (w zbiorze liczb rzeczywistych dzielenie przez 0 jest niewykonalne). Stąd otrzymujemy, że:

$x + 5 \neq = 0 \land (x + 5)^{2} \neq = 0$

$x \neq = - 5$

Zatem:

$D = R \ {- 5}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{1}{x + 5} - \frac{3}{( x + 5 ) ^{2}} \leq 0$

$\frac{x + 5}{( x + 5 ) ^{2}} - \frac{3}{( x + 5 ) ^{2}} \leq 0$

$\frac{x + 5 - 3}{( x + 5 ) ^{2}} \leq 0$

$\frac{x + 2}{( x + 5 ) ^{2}} \leq 0$

Zapiszemy nierówność równoważną danej.

$(x + 2) (x + 5)^{2} \leq 0$

$x + 2 = 0 \lor (x + 5)^{2} = 0$

$x = - 2 \lor x + 5 = 0$

$x = - 2 \lor x = - 5$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$2-kr x = - 5 \lor 1-kr x = - 2$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (- \infty; - 2 ⟩$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania, które spełniają założenia, więc:

$x \in (- \infty; - 5) \cup (- 5; - 2 ⟩$

b) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$x - 2 \neq = 0 \lor x^{2} - 4 x + 4 \neq = 0$

$x \neq = 2 \lor (x - 2)^{2} \neq = 0$

$x \neq = 2 \lor x - 2 \neq = 0$

$x \neq = 2$

Zatem:

$D = R \ {2}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{2}{x - 2} + \frac{3 x}{x ^{2} - 4 x + 4} > 0$

$\frac{2}{x - 2} + \frac{3 x}{( x - 2 ) ^{2}} > 0$

$\frac{2 ( x - 2 )}{( x - 2 ) ^{2}} + \frac{3 x}{( x - 2 ) ^{2}} > 0$

$\frac{2 x - 4}{( x - 2 ) ^{2}} + \frac{3 x}{( x - 2 ) ^{2}} > 0$

$\frac{2 x - 4 + 3 x}{( x - 2 ) ^{2}} > 0$

$\frac{5 x - 4}{( x - 2 ) ^{2}} > 0$

Zapiszemy nierówność równoważną danej.

$(5 x - 4) (x - 2)^{2} > 0$

$5 x - 4 = 0 \lor (x - 2)^{2} = 0$

$5 x = 4 \lor x - 2 = 0$

$x = \frac{4}{5} \lor x = 2$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$1-kr x = \frac{4}{5} \lor 2-kr x = 2$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in (\frac{4}{5}; 2) \cup (2; + \infty)$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania, które spełniają założenia, więc:

$x \in (\frac{4}{5}; 2) \cup (2; + \infty)$

c) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$4 x^{2} + 12 x + 9 \neq = 0 \land 2 x + 3 \neq = 0$

$(2 x + 3)^{2} \neq = 0 \land 2 x \neq = - 3$

$2 x + 3 \neq = 0 \land x \neq = - \frac{3}{2}$

$x \neq = - \frac{3}{2}$

Zatem:

$D = R \ {- \frac{3}{2}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{4 x + 3}{4 x ^{2} + 12 x + 9} \geq \frac{1}{2 x + 3} ∣ - \frac{1}{2 x + 3}$

$\frac{4 x + 3}{4 x ^{2} + 12 x + 9} - \frac{1}{2 x + 3} \geq 0$

$\frac{4 x + 3}{( 2 x + 3 ) ^{2}} - \frac{1}{2 x + 3} \geq 0$

$\frac{4 x + 3}{( 2 x + 3 ) ^{2}} - \frac{2 x + 3}{( 2 x + 3 ) ^{2}} \geq 0$

$\frac{4 x + 3 - ( 2 x + 3 )}{( 2 x + 3 ) ^{2}} \geq 0$

$\frac{4 x + 3 - 2 x - 3}{( 2 x + 3 ) ^{2}} \geq 0$

$\frac{2 x}{( 2 x + 3 ) ^{2}} \geq 0$

Zapiszemy nierówność równoważną danej.

$2 x (2 x + 3)^{2} \geq 0$

$2 x = 0 \lor (2 x + 3)^{2} = 0$

$x = 0 \lor 2 x + 3 = 0$

$x = 0 \lor 2 x = - 3$

$x = 0 \lor x = - \frac{3}{2}$

Pierwiastki zapiszemy w kolejności od najmniejszego do największego i określimy ich krotności.

$2-kr x = - \frac{3}{2} \lor 1-kr x = 0$

Rysowanie wykresu zaczynamy od prawej strony.

Współczynnik przy najwyższej potędze jest liczbą dodatnią, więc zaczynamy nad osią $x .$

Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.

$x \in {- \frac{3}{2}} \cup ⟨ 0; + \infty)$

Do zbioru rozwiązań nierówności wymiernej należą te rozwiązania, które spełniają założenia, więc:

$x \in ⟨ 0; + \infty)$

d) Najpierw określimy dziedzinę tej nierówności.

$(2 x - 1)^{2} \neq = 0 \land (2 x - 1)^{3} \neq = 0$

$2 x - 1 \neq = 0$

$2 x \neq = 1$

$x \neq = \frac{1}{2}$

Zatem:

$D = R \ {\frac{1}{2}}$

Rozwiązujemy nierówność.

$\frac{3}{( 2 x - 1 ) ^{2}} < \frac{6 x}{( 2 x - 1 ) ^{3}} ∣ - \frac{6 x}{( 2 x - 1 ) ^{3}}$

$\frac{3}{( 2 x - 1 ) ^{2}} - \frac{6 x}{( 2 x - 1 ) ^{3}} < 0$

$\frac{3 ( 2 x - 1 )}{( 2 x - 1 ) ^{3}} - \frac{6 x}{( 2 x - 1 ) ^{3}} < 0$

$\frac{6 x - 3}{( 2 x - 1 ) ^{3}} - \frac{6 x}{( 2 x - 1 ) ^{3}} < 0$

$\frac{6 x - 3 - 6 x}{( 2 x - 1 ) ^{3}} < 0$

$\frac{- 3}{( 2 x - 1 ) ^{3}} < 0$

Liczba -3 jest ujemna, więc liczba $(2 x - 1)^{3}$ musi być dodatnia (by dany iloraz był ujemny). Wystarczy zatem rozwiązać nierówność.

$(2 x - 1)^{3} > 0$

$2 x - 1 > 0$

$2 x > 1$

$x > \frac{1}{2}$

Zatem:

$x \in (\frac{1}{2}; + \infty)$

Agnieszka Sermak

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Podstawowe pojęcia dotyczące nierówności

Premium

14:18

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Metoda graficzna rozwiązywania równań

Premium

8:44

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania wymierne

Premium

14:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.